Упр.713 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч большей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из пункта М в пункт N?

Подробный ответ

1) Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} x-y=4,\\ y=x^2-5x+5. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$y=x-4.$$

Подставим во второе уравнение:

$$ x-4=x^2-5x+5 $$

$$ x^2-6x+9=0 $$

$$ (x-3)^2=0 $$

$$ x=3. $$

Тогда

$$ y=x-4=3-4=-1. $$

Прямая и парабола имеют единственную общую точку, так как получилось уравнение с единственным корнем.

2) Пусть $$v$$ км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда расстояние от $$M$$ до $$N$$ равно

$$s=5v.$$

На обратном пути он проехал первые $$36$$ км со скоростью $$v$$, а оставшийся путь — со скоростью $$v+3$$. Время обратного пути на $$15$$ мин меньше, то есть

$$ 5-\frac{15}{60}=\frac{19}{4}\text{ ч}. $$

Составим уравнение:

$$ \frac{36}{v}+\frac{5v-36}{v+3}=\frac{19}{4}. $$

Умножим на $$4v(v+3)$$:

$$ 144(v+3)+4v(5v-36)=19v(v+3) $$

$$ 144v+432+20v^2-144v=19v^2+57v $$

$$ v^2-57v+432=0. $$

$$ D=57^2-4\cdot 432=3249-1728=1521=39^2. $$

$$ v_{1,2}=\frac{57\pm 39}{2} $$

$$ v_1=48,\quad v_2=9. $$

Оба значения подходят по смыслу задачи.