Упр.712 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) определите, пересекает ли парабола у = x^2 — 8x + 16 прямую 2x — 3у = 0 и если да, то в каких точках;
б) найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции y = 2x^2 + 9x — 5.
Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Подробный ответ

а) Чтобы найти точки пересечения параболы $$y=x^2-8x+16$$ и прямой $$2x-3y=0,$$ решим систему:
$$ \begin{cases} y=x^2-8x+16,\\ 2x-3y=0. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$ y=\frac{2}{3}x. $$
Подставим в первое:
$$ \frac{2}{3}x=x^2-8x+16. $$
Умножим на $$3$$:
$$ 2x=3x^2-24x+48, $$
$$ 3x^2-26x+48=0. $$
Найдём корни:
$$ D=(-26)^2-4\cdot 3\cdot 48=676-576=100. $$
$$ x_{1,2}=\frac{26\pm 10}{6}. $$
Тогда
$$ x_1=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}, \qquad x_2=\frac{36}{6}=6. $$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$ y_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{8}{3}=\frac{16}{9}, \qquad y_2=\frac{2}{3}\cdot 6=4. $$
Значит, точки пересечения:
$$ \left(\frac{8}{3};\frac{16}{9}\right) \text{ и } (6;4). $$

б) Точки пересечения графика функции $$y=2x^2+9x-5$$ с осями координат найдём так.

С осью $$Oy$$ график пересекается при $$x=0$$:
$$ y=2\cdot 0^2+9\cdot 0-5=-5. $$
Получаем точку $$ (0;-5). $$

С осью $$Ox$$ график пересекается при $$y=0$$:
$$ 2x^2+9x-5=0. $$
Найдём корни:
$$ D=9^2-4\cdot 2\cdot (-5)=81+40=121. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{4}. $$
Тогда
$$ x_1=-5, \qquad x_2=\frac{1}{2}. $$
Следовательно, точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$ (-5;0) \text{ и } \left(\frac{1}{2};0\right). $$

в) Пусть $$v$$ км/ч — скорость катера в стоячей воде. Тогда по течению его скорость равна $$v+2$$ км/ч, а против течения — $$v-2$$ км/ч.

По условию расстояние между пристанями катер проходит по течению за $$6$$ ч, значит:
$$ MN=6(v+2)=6v+12. $$
После того как катер не дошёл до пристани $$N$$ $$40$$ км, он повернул назад. Тогда на путь туда и обратно затрачено $$9$$ ч:
$$ \frac{6v+12-40}{v+2}+\frac{6v+12-40}{v-2}=9. $$
Упростим:
$$ \frac{6v-28}{v+2}+\frac{6v-28}{v-2}=9. $$
ОДЗ: $$v\ne 2,$$ $$v\ne -2.$$

Умножим на $$ (v+2)(v-2) $$:
$$ (6v-28)(v-2)+(6v-28)(v+2)=9(v^2-4). $$
$$ 12v^2-56v=9v^2-36. $$
$$ 3v^2-56v+36=0. $$
Найдём корни:
$$ D=(-56)^2-4\cdot 3\cdot 36=3136-432=2704=52^2. $$
$$ v_{1,2}=\frac{56\pm 52}{6}. $$
$$ v_1=18,\qquad v_2=\frac{2}{3}. $$
Так как скорость катера должна быть больше скорости течения, подходит только $$v=18$$ км/ч.