Упр.711 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) {x — y = 5, 1/x + 1/y = 1/6;
б) {x + y = 6, 1/x — 1/y = 1/4;
в) {3x + y = 1, 1/x + 1/y = -2,5;
г) {1/y — 1/x = 1/3, x — 2y = 2.
Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы первый автомобиль вышел из А на 4*1/2 ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние между городами А и В.
а) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x-y=5 \Rightarrow x=y+5.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{1}{y+5}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}, \qquad y\neq 0,\; y\neq -5.$$
Умножим на $$6y(y+5)$$:
$$6y+6(y+5)=y(y+5)$$
$$12y+30=y^2+5y$$
$$y^2-7y-30=0.$$
$$D=49+120=169,$$
$$y_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=10,\quad y_2=-3.$$
Тогда
$$x_1=10+5=15,\quad x_2=-3+5=2.$$
Ответ: $$ (2;\,-3) $$ и $$ (15;\,10). $$
б) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x+y=6 \Rightarrow x=6-y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{1}{6-y}-\frac{1}{y}=\frac{1}{4}, \qquad y\neq 0,\; y\neq 6.$$
Умножим на $$4y(6-y)$$:
$$4y-4(6-y)=y(6-y)$$
$$4y-24+4y=6y-y^2$$
$$y^2+2y-24=0.$$
$$D=4+96=100,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 10}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=4,\quad y_2=-6.$$
Тогда
$$x_1=6-4=2,\quad x_2=6-(-6)=12.$$
Ответ: $$ (2;\,4) $$ и $$ (12;\,-6). $$
в) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$3x+y=1 \Rightarrow y=1-3x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-3x}=-2{,}5=-\frac{5}{2}, \qquad x\neq 0,\; x\neq \frac{1}{3}.$$
Умножим на $$2x(1-3x)$$:
$$2(1-3x)+2x=-5x(1-3x)$$
$$2-6x+2x=-5x+15x^2$$
$$15x^2-x-2=0.$$
$$D=1+120=121,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{30}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{2}{5}.$$
Тогда
$$y_1=1-3\left(-\frac{1}{3}\right)=2,\quad y_2=1-3\cdot \frac{2}{5}=-\frac{1}{5}.$$
Ответ: $$\left(-\frac{1}{3};\,2\right) $$ и $$ \left(\frac{2}{5};\,-\frac{1}{5}\right). $$
г) Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$x-2y=2 \Rightarrow x=2y+2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{2y+2}=\frac{1}{3}, \qquad y\neq 0,\; y\neq -1.$$
Умножим на $$3y(2y+2)$$:
$$3(2y+2)-3y=y(2y+2)$$
$$6y+6-3y=2y^2+2y$$
$$2y^2-y-6=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}.$$
Получаем:
$$y_1=-\frac{3}{2},\quad y_2=2.$$
Тогда
$$x_1=2\left(-\frac{3}{2}\right)+2=-1,\quad x_2=2\cdot 2+2=6.$$
Ответ: $$(-1;\,-\frac{3}{2}) $$ и $$ (6;\,2). $$
Пусть скорость автомобиля из города $$A$$ равна $$v$$ км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна $$v+10$$ км/ч.
За $$5$$ ч до встречи первый автомобиль проехал $$5v$$ км, второй — $$5(v+10)$$ км, значит расстояние между городами:
$$S=5v+5(v+10)=10v+50.$$
Если бы первый автомобиль выехал на $$4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$$ ч раньше, то до встречи он был бы в пути
$$5+\frac{9}{2}=\frac{19}{2}$$ ч,
и проехал бы $$\frac{19}{2}v$$ км. По условию встреча произошла бы в $$150$$ км от города $$B$$, значит второй автомобиль проехал бы $$150$$ км, а первый — $$S-150$$ км. Тогда
$$\frac{S-150}{v}-\frac{150}{v+10}=\frac{9}{2}.$$
Подставим $$S=10v+50$$:
$$\frac{10v-100}{v}-\frac{150}{v+10}=\frac{9}{2}.$$
Умножим на $$2v(v+10)$$:
$$2(v+10)(10v-100)-300v=9v(v+10)$$
$$20v^2-2000-300v=9v^2+90v$$
$$11v^2-390v-2000=0.$$
$$D=390^2+4\cdot 11\cdot 2000=240100=490^2,$$
$$v_{1,2}=\frac{390\pm 490}{22}.$$
Получаем:
$$v_1=40,\quad v_2=-\frac{100}{22}.$$
Отрицательное значение не подходит, значит $$v=40$$ км/ч.
Тогда расстояние между городами:
$$S=10\cdot 40+50=450.$$
Ответ
а) $$ (2;\,-3),\ (15;\,10) $$; б) $$ (2;\,4),\ (12;\,-6) $$; в) $$ \left(-\frac{1}{3};\,2\right),\ \left(\frac{2}{5};\,-\frac{1}{5}\right) $$; г) $$ (-1;\,-\frac{3}{2}),\ (6;\,2) $$; расстояние между городами $$450$$ км.
