Упр.710 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) {x^2 + y^2 + 3xy = -1, x + 2y = 0;
б) {u + 2v = 4, u^2 + uv — v = -5.
Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.

Подробный ответ

а) Из второго уравнения системы получаем $$x=-2y.$$ Подставим в первое уравнение:
$$ (-2y)^2+y^2+3y\cdot(-2y)=-1 $$
$$ 4y^2+y^2-6y^2=-1 $$
$$ -y^2=-1,\quad y^2=1 $$
$$ y=1 \text{ или } y=-1 $$
Если $$y=1,$$ то $$x=-2.$$ Если $$y=-1,$$ то $$x=2.$$
Следовательно, решения системы: $$(-2;1)$$ и $$(2;-1).$$
б) Из первого уравнения выразим $$u$$:
$$u=4-2v.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ (4-2v)^2+v(4-2v)-v=-5 $$
$$ 16-16v+4v^2+4v-2v^2-v=-5 $$
$$ 2v^2-13v+21=0 $$
$$ D=13^2-4\cdot2\cdot21=169-168=1 $$
$$ v_{1,2}=\frac{13\pm1}{4} $$
$$ v_1=3,\quad v_2=\frac{7}{2} $$
Найдём $$u$$:
при $$v=3$$: $$u=4-2\cdot3=-2$$;
при $$v=\frac{7}{2}$$: $$u=4-2\cdot\frac{7}{2}=-3.$$
Значит, решения системы: $$(-2;3)$$ и $$\left(-3;\frac{7}{2}\right).$$
Пусть скорость мотоциклиста в прямом направлении равна $$x$$ км/ч. Тогда на путь в одну сторону он затратил $$4$$ ч, значит расстояние между городами равно $$4x$$ км.
На обратном пути первые $$100$$ км он ехал со скоростью $$x$$, а оставшийся путь — со скоростью $$x-10$$. Время обратного пути:
$$ \frac{100}{x}+\frac{4x-100}{x-10} $$
По условию это на $$\frac12$$ ч больше, чем $$4$$ ч:
$$ \frac{100}{x}+\frac{4x-100}{x-10}=4+\frac12 $$
$$ \frac{100}{x}+\frac{4x-100}{x-10}=\frac92 $$
Умножим на $$2x(x-10)$$:
$$ 200(x-10)+2x(4x-100)=9x(x-10) $$
$$ 200x-2000+8x^2-200x=9x^2-90x $$
$$ x^2-90x+2000=0 $$
$$ D=90^2-4\cdot2000=8100-8000=100 $$
$$ x_{1,2}=\frac{90\pm10}{2} $$
$$ x_1=40,\quad x_2=50 $$
Тогда расстояние между городами:
$$ 4\cdot40=160\text{ км},\qquad 4\cdot50=200\text{ км} $$