Упр.708 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) {2x + 4y = 5(x — y), x^2 — y^2 = 6;
б) {u — v = 6(u + v), u^2 — v^2 = 6. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал всё время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые 3/4 ч ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, после этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в город В вместе с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
а) Из первого уравнения системы:
$$2x+4y=5(x-y)$$
$$2x+4y=5x-5y$$
$$3x=9y$$
$$x=3y$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2-y^2=6$$
$$ (3y)^2-y^2=6 $$
$$9y^2-y^2=6$$
$$8y^2=6$$
$$y^2=\frac{3}{4}$$
$$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Тогда
$$x=3y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Получаем два решения:
$$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
б) Из первого уравнения:
$$u-v=6(u+v)$$
$$u-v=6u+6v$$
$$5u+7v=0$$
$$u=-\frac{7}{5}v$$
Подставим во второе уравнение:
$$u^2-v^2=6$$
$$\left(-\frac{7}{5}v\right)^2-v^2=6$$
$$\frac{49}{25}v^2-v^2=6$$
$$\frac{24}{25}v^2=6$$
$$v^2=\frac{25}{4}$$
$$v=\pm \frac{5}{2}$$
Тогда
$$u=-\frac{7}{5}v$$
Если $$v=\frac{5}{2}$$, то $$u=-\frac{7}{2}$$.
Если $$v=-\frac{5}{2}$$, то $$u=\frac{7}{2}$$.
Ответы системы:
$$\left(-\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right),\ \left(\frac{7}{2};-\frac{5}{2}\right)$$
Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда второй автомобиль первые $$\frac{3}{4}$$ ч ехал со скоростью $$x$$ км/ч, затем стоял $$\frac{1}{4}$$ ч, после чего ехал со скоростью $$x+5$$ км/ч.
Время движения первого автомобиля:
$$\frac{120}{x}$$
Время движения второго автомобиля:
$$\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{120-\frac{3}{4}x}{x+5}$$
Так как автомобили прибыли одновременно, составим уравнение:
$$\frac{120}{x}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{120-\frac{3}{4}x}{x+5}$$
$$\frac{120}{x}=1+\frac{120-\frac{3}{4}x}{x+5}$$
$$\frac{120}{x}-1=\frac{120-\frac{3}{4}x}{x+5}$$
$$\frac{120-x}{x}=\frac{120-\frac{3}{4}x}{x+5}$$
Перемножим крест-накрест:
$$\left(120-x\right)(x+5)=x\left(120-\frac{3}{4}x\right)$$
$$120x+600-x^2-5x=120x-\frac{3}{4}x^2$$
$$-\frac{1}{4}x^2-5x+600=0$$
$$x^2+20x-2400=0$$
$$D=20^2+4\cdot 2400=10000$$
$$x=\frac{-20\pm 100}{2}$$
$$x_1=40,\quad x_2=-60$$
Отрицательное значение не подходит, значит скорость первого автомобиля равна $$40$$ км/ч.
Ответ
а) $$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\ \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$; б) $$\left(-\frac{7}{2};\frac{5}{2}\right),\ \left(\frac{7}{2};-\frac{5}{2}\right)$$; $$40$$ км/ч.
