Упр.707 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) {2x^2 + y^2 = 9, x^2 — y^2 = 3;
б) {2x^2 — xy = 33, 4x — y = 17;
в) {3x^2 — 2y = 1, 2x^2 — y^2 = 1;
г) {x — y — 4 = 0, x^2 + y^2 = 8,5;
д) {x^2 + 4y = 10, x — 2y = -5;
е) {x — 2y + 1 = 0, 5xy + y^2 = 16. Теплоход отправился от пристани А до пристани В, расстояние между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был задержан на 1/2 ч и, чтобы прийти в пункт назначения вовремя, увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.

1. а)
   $$\begin{cases} 2x^2+y^2=9,\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$3x^2=12,$$
   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
   Если $$x=2,$$ то
   $$4-y^2=3,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1.$$
   Если $$x=-2,$$ то получаем те же значения $$y.$$

   Ответ: $$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1).$$

2. б)
   $$\begin{cases} 2x^2-xy=33,\\ 4x-y=17. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=4x-17.$$
   Подставим в первое:
   $$2x^2-x(4x-17)=33,$$
   $$2x^2-4x^2+17x-33=0,$$
   $$2x^2-17x+33=0.$$
   $$D=17^2-4\cdot 2\cdot 33=25.$$
   Тогда
   $$x_1=\frac{17-5}{4}=3,\quad x_2=\frac{17+5}{4}=\frac{11}{2}.$$
   Найдём $$y$$:
   $$x=3 \Rightarrow y=4\cdot 3-17=-5,$$
   $$x=\frac{11}{2} \Rightarrow y=4\cdot \frac{11}{2}-17=5.$$

   Ответ: $$(3;-5),\;\left(\frac{11}{2};5\right).$$

3. в)
   $$\begin{cases} 3x^2-2y=1,\\ 2x^2-y^2=1. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$, второе на $$3$$:
   $$\begin{cases} 6x^2-4y=2,\\ 6x^2-3y^2=3. \end{cases}$$
   Вычтем второе из первого:
   $$-4y+3y^2=-1,$$
   $$3y^2-4y+1=0.$$
   $$D=16-12=4,$$
   $$y_1=\frac{4-2}{6}=\frac13,\quad y_2=\frac{4+2}{6}=1.$$
   Если $$y=\frac13,$$ то
   $$3x^2-2\cdot \frac13=1,$$
   $$3x^2=\frac53,\quad x^2=\frac59,\quad x=\pm \frac{\sqrt5}{3}.$$
   Если $$y=1,$$ то
   $$3x^2-2=1,\quad 3x^2=3,\quad x=\pm 1.$$

   Ответ: $$\left(-\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\;\left(\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\;(-1;1),\;(1;1).$$

4. г)
   $$\begin{cases} x-y-4=0,\\ x^2+y^2=8{,}5. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=y+4.$$
   Подставим во второе:
   $$(y+4)^2+y^2=8{,}5,$$
   $$2y^2+8y+16=8{,}5,$$
   $$2y^2+8y+7{,}5=0.$$
   Умножим на $$2$$:
   $$4y^2+16y+15=0.$$
   $$D=16^2-4\cdot 4\cdot 15=16.$$
   Тогда
   $$y_1=\frac{-16-4}{8}=-2{,}5,\quad y_2=\frac{-16+4}{8}=-1{,}5.$$
   Соответственно,
   $$x_1=-2{,}5+4=1{,}5,\quad x_2=-1{,}5+4=2{,}5.$$

   Ответ: $$(1{,}5;-2{,}5),\;(2{,}5;-1{,}5).$$

5. д)
   $$\begin{cases} x^2+4y=10,\\ x-2y=-5. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$:
   $$2x-4y=-10.$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2+2x=0,$$
   $$x(x+2)=0.$$
   Значит, $$x=0$$ или $$x=-2.$$
   Если $$x=0,$$ то
   $$4y=10,\quad y=2{,}5.$$
   Если $$x=-2,$$ то
   $$4+4y=10,\quad y=1{,}5.$$

   Ответ: $$(0;2{,}5),\;(-2;1{,}5).$$

6. е)
   $$\begin{cases} x-2y+1=0,\\ 5xy+y^2=16. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=2y-1.$$
   Подставим во второе:
   $$5y(2y-1)+y^2=16,$$
   $$10y^2-5y+y^2-16=0,$$
   $$11y^2-5y-16=0.$$
   $$D=25+704=729,$$
   $$y_1=\frac{5-27}{22}=-1,\quad y_2=\frac{5+27}{22}=\frac{16}{11}.$$
   Если $$y=-1,$$ то
   $$x=2\cdot(-1)-1=-3.$$
   Если $$y=\frac{16}{11},$$ то
   $$x=2\cdot \frac{16}{11}-1=\frac{21}{11}.$$

   Ответ: $$(-3;-1),\;\left(\frac{21}{11};\frac{16}{11}\right).$$

7. Задача о теплоходе.
   Пусть $$x$$ км/ч — первоначальная скорость теплохода, тогда после увеличения скорость стала $$x+10$$ км/ч.
   До остановки теплоход шёл $$1{,}5x$$ км, после остановки — $$225-1{,}5x$$ км.
   По условию:
   $$1{,}5+\frac12+\frac{225-1{,}5x}{x+10}=\frac{225}{x}.$$
   Умножим на $$2x(x+10)$$:
   $$3x(x+10)+x(x+10)+2x(225-1{,}5x)=450(x+10).$$
   После упрощения получаем:
   $$x^2+40x-4500=0.$$
   $$D=40^2+4\cdot 4500=19600,$$
   $$x_1=\frac{-40-140}{2}=-90,\quad x_2=\frac{-40+140}{2}=50.$$
   Отрицательное значение не подходит, значит первоначальная скорость равна $$50$$ км/ч.

   Ответ: $$50\text{ км/ч}.$$