Упр.706 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. а)
   $$\begin{cases} y-2x=2,\\ 5x^2-y=1 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=2x+2.$$
   Подставим во второе:
   $$5x^2-(2x+2)=1$$
   $$5x^2-2x-3=0.$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64.$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{10}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac35,\quad x_2=1.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=2\cdot\left(-\frac35\right)+2=\frac45,\qquad y_2=2\cdot 1+2=4.$$
   Ответ: $$\left(-\frac35;\frac45\right),\ (1;4).$$

2. б)
   $$\begin{cases} x-2y^2=2,\\ 3x+y=7 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=7-3x.$$
   Подставим в первое:
   $$x-2(7-3x)^2=2$$
   $$x-2(49-42x+9x^2)=2$$
   $$18x^2-85x+100=0.$$
   $$D=85^2-4\cdot 18\cdot 100=25.$$
   $$x_{1,2}=\frac{85\pm 5}{36}.$$
   Получаем:
   $$x_1=\frac{20}{9},\quad x_2=\frac52.$$
   Тогда
   $$y_1=7-3\cdot\frac{20}{9}=\frac13,\qquad y_2=7-3\cdot\frac52=-\frac12.$$
   Ответ: $$\left(\frac{20}{9};\frac13\right),\ \left(\frac52;-\frac12\right).$$

3. в)
   $$\begin{cases} 3x^2-2y=1,\\ 2x^2-y^2=1 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$2$$, второе — на $$3$$:
   $$\begin{cases} 6x^2-4y=2,\\ 6x^2-3y^2=3 \end{cases}$$
   Вычтем второе из первого:
   $$3y^2-4y+1=0.$$
   $$D=16-12=4.$$
   $$y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{6}.$$
   Значит,
   $$y_1=\frac13,\quad y_2=1.$$
   Если $$y=\frac13,$$ то
   $$3x^2-2\cdot\frac13=1$$
   $$3x^2=\frac53,\qquad x^2=\frac59,\qquad x=\pm\frac{\sqrt5}{3}.$$
   Если $$y=1,$$ то
   $$3x^2-2=1,\qquad 3x^2=3,\qquad x=\pm 1.$$
   Ответ: $$\left(-\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ \left(\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ (-1;1),\ (1;1).$$

4. г)
   $$\begin{cases} 3x^2+2y^2=11,\\ x+2y=3 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=3-2y.$$
   Подставим в первое:
   $$3(3-2y)^2+2y^2=11$$
   $$14y^2-36y+16=0$$
   $$7y^2-18y+8=0.$$
   $$D=324-224=100.$$
   $$y_{1,2}=\frac{18\pm 10}{14}.$$
   Тогда
   $$y_1=\frac47,\quad y_2=2.$$
   Найдём $$x$$:
   $$x_1=3-2\cdot\frac47=\frac{13}{7},\qquad x_2=3-4=-1.$$
   Ответ: $$\left(\frac{13}{7};\frac47\right),\ (-1;2).$$

5. д)
   $$\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ 3x=4y \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=\frac34x.$$
   Подставим в первое:
   $$x^2+\left(\frac34x\right)^2=100$$
   $$x^2+\frac{9}{16}x^2=100$$
   $$\frac{25}{16}x^2=100$$
   $$x^2=64,\qquad x=\pm 8.$$
   Тогда
   $$y=\frac34\cdot 8=6,\qquad y=\frac34\cdot(-8)=-6.$$
   Ответ: $$(-8;-6),\ (8;6).$$

6. е)
   $$\begin{cases} 2x^2-y^2=32,\\ 2x-y=8 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=2x-8.$$
   Подставим в первое:
   $$2x^2-(2x-8)^2=32$$
   $$2x^2-(4x^2-32x+64)=32$$
   $$x^2-16x+48=0.$$
   $$D=256-192=64.$$
   $$x_{1,2}=\frac{16\pm 8}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=4,\quad x_2=12.$$
   Тогда
   $$y_1=2\cdot 4-8=0,\qquad y_2=2\cdot 12-8=16.$$
   Ответ: $$(4;0),\ (12;16).$$

7. Задача о плоте и катере.
   Пусть $$x$$ км/ч — скорость плота, тогда скорость катера в стоячей воде равна $$12$$ км/ч, а по течению — $$12+x$$ км/ч.
   Плот прошёл до встречи $$44-27=17$$ км, значит, время его движения:
   $$\frac{17}{x}.$$
   Катер прошёл $$27$$ км, значит, время его движения:
   $$\frac{27}{12-x}.$$
   По условию плот был в пути на $$2\text{ ч }40\text{ мин}=\frac83$$ ч дольше:
   $$\frac{17}{x}-\frac{27}{12-x}=\frac83.$$
   Умножим на $$3x(12-x)$$:
   $$51(12-x)-81x=8x(12-x)$$
   $$612-132x=96x-8x^2$$
   $$8x^2-228x+612=0$$
   $$2x^2-57x+153=0.$$
   $$D=57^2-4\cdot 2\cdot 153=2025.$$
   $$x_{1,2}=\frac{57\pm 45}{4}.$$
   Получаем:
   $$x_1=25{,}5,\quad x_2=3.$$
   Значение $$25{,}5$$ не подходит, так как скорость течения должна быть меньше $$12$$ км/ч.
   Следовательно, скорость плота равна $$3$$ км/ч.

Ответ

а) $$\left(-\frac35;\frac45\right),\ (1;4)$$;
б) $$\left(\frac{20}{9};\frac13\right),\ \left(\frac52;-\frac12\right)$$;
в) $$\left(-\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ \left(\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ (-1;1),\ (1;1)$$;
г) $$\left(\frac{13}{7};\frac47\right),\ (-1;2)$$;
д) $$(-8;-6),\ (8;6)$$;
е) $$(4;0),\ (12;16)$$;
скорость плота $$3$$ км/ч.