Упр.706 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) {y — 2x = 2, 5x^2 — y = 1;
б) {x — 2y^2 = 2, 3x + y = 7;
в) {3x^2 — 2y = 1, 2x^2 — y^2 = 1;
г) {3x^2 + 2y^2 = 11, x + 2y = 3;
д) {x^2 + y^2 = 100, 3x = 4y;
е) {2x^2 — y^2 = 32, 2x — y = 8. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А вниз по течению реки навстречу ему от пристани В отошёл катер. Встреча произошла в 27 км от В. Найдите скорость плота, если скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от А до В равно 44 км.
а)
$$\begin{cases} y-2x=2,\\ 5x^2-y=1 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=2x+2.$$
Подставим во второе:
$$ 5x^2-(2x+2)=1 $$
$$ 5x^2-2x-3=0. $$
$$ D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64. $$
$$ x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{10}. $$
Тогда
$$x_1=-\frac35,\quad x_2=1.$$
Найдём $y$:
$$ y_1=2\cdot\left(-\frac35\right)+2=\frac45,\qquad y_2=2\cdot 1+2=4. $$
Ответ: $$\left(-\frac35;\frac45\right),\ (1;4).$$б)
$$\begin{cases} x-2y^2=2,\\ 3x+y=7 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=7-3x.$$
Подставим в первое:
$$ x-2(7-3x)^2=2 $$
$$ x-2(49-42x+9x^2)=2 $$
$$ 18x^2-85x+100=0. $$
$$ D=85^2-4\cdot 18\cdot 100=25. $$
$$ x_{1,2}=\frac{85\pm 5}{36}. $$
Получаем:
$$x_1=\frac{20}{9},\quad x_2=\frac52.$$
Тогда
$$ y_1=7-3\cdot\frac{20}{9}=\frac13,\qquad y_2=7-3\cdot\frac52=-\frac12. $$
Ответ: $$\left(\frac{20}{9};\frac13\right),\ \left(\frac52;-\frac12\right).$$в)
$$\begin{cases} 3x^2-2y=1,\\ 2x^2-y^2=1 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $2$, второе — на $3$:
$$ \begin{cases} 6x^2-4y=2,\\ 6x^2-3y^2=3 \end{cases} $$
Вычтем второе из первого:
$$ 3y^2-4y+1=0. $$
$$ D=16-12=4. $$
$$ y_{1,2}=\frac{4\pm 2}{6}. $$
Значит,
$$y_1=\frac13,\quad y_2=1.$$
Если $$y=\frac13,$$ то
$$ 3x^2-2\cdot\frac13=1 $$
$$ 3x^2=\frac53,\qquad x^2=\frac59,\qquad x=\pm\frac{\sqrt5}{3}. $$
Если $$y=1,$$ то
$$ 3x^2-2=1,\qquad 3x^2=3,\qquad x=\pm 1. $$
Ответ: $$\left(-\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ \left(\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ (-1;1),\ (1;1).$$г)
$$\begin{cases} 3x^2+2y^2=11,\\ x+2y=3 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x=3-2y.$$
Подставим в первое:
$$ 3(3-2y)^2+2y^2=11 $$
$$ 14y^2-36y+16=0 $$
$$ 7y^2-18y+8=0. $$
$$ D=324-224=100. $$
$$ y_{1,2}=\frac{18\pm 10}{14}. $$
Тогда
$$y_1=\frac47,\quad y_2=2.$$
Найдём $x$:
$$ x_1=3-2\cdot\frac47=\frac{13}{7},\qquad x_2=3-4=-1. $$
Ответ: $$\left(\frac{13}{7};\frac47\right),\ (-1;2).$$д)
$$\begin{cases} x^2+y^2=100,\\ 3x=4y \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac34x.$$
Подставим в первое:
$$ x^2+\left(\frac34x\right)^2=100 $$
$$ x^2+\frac{9}{16}x^2=100 $$
$$ \frac{25}{16}x^2=100 $$
$$ x^2=64,\qquad x=\pm 8. $$
Тогда
$$ y=\frac34\cdot 8=6,\qquad y=\frac34\cdot(-8)=-6. $$
Ответ: $$(-8;-6),\ (8;6).$$е)
$$\begin{cases} 2x^2-y^2=32,\\ 2x-y=8 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2x-8.$$
Подставим в первое:
$$ 2x^2-(2x-8)^2=32 $$
$$ 2x^2-(4x^2-32x+64)=32 $$
$$ x^2-16x+48=0. $$
$$ D=256-192=64. $$
$$ x_{1,2}=\frac{16\pm 8}{2}. $$
Получаем:
$$x_1=4,\quad x_2=12.$$
Тогда
$$ y_1=2\cdot 4-8=0,\qquad y_2=2\cdot 12-8=16. $$
Ответ: $$ (4;0),\ (12;16).$$Задача о плоте и катере.
Пусть $$x$$ км/ч — скорость плота, тогда скорость катера в стоячей воде равна $$12$$ км/ч, а по течению — $$12+x$$ км/ч.
Плот прошёл до встречи $$44-27=17$$ км, значит, время его движения:
$$\frac{17}{x}.$$
Катер прошёл $$27$$ км, значит, время его движения:
$$\frac{27}{12-x}.$$
По условию плот был в пути на $$2\text{ ч }40\text{ мин}=\frac83$$ ч дольше:
$$ \frac{17}{x}-\frac{27}{12-x}=\frac83. $$
Умножим на $$3x(12-x)$$:
$$ 51(12-x)-81x=8x(12-x) $$
$$ 612-132x=96x-8x^2 $$
$$ 8x^2-228x+612=0 $$
$$ 2x^2-57x+153=0. $$
$$ D=57^2-4\cdot 2\cdot 153=2025. $$
$$ x_{1,2}=\frac{57\pm 45}{4}. $$
Получаем:
$$x_1=25{,}5,\quad x_2=3.$$
Значение $$25{,}5$$ не подходит, так как скорость течения должна быть меньше $$12$$ км/ч.
Следовательно, скорость плота равна $$3$$ км/ч.
Ответ
а) $$\left(-\frac35;\frac45\right),\ (1;4)$$;
б) $$\left(\frac{20}{9};\frac13\right),\ \left(\frac52;-\frac12\right)$$;
в) $$\left(-\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ \left(\frac{\sqrt5}{3};\frac13\right),\ (-1;1),\ (1;1)$$;
г) $$\left(\frac{13}{7};\frac47\right),\ (-1;2)$$;
д) $$(-8;-6),\ (8;6)$$;
е) $$(4;0),\ (12;16)$$;
скорость плота $$3$$ км/ч.
