Упр.705 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}x+y=8,\\xy=-20;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x-y=0{,}8,\\xy=2{,}4;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x^2-y^2=8,\\x-y=4;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}x^2+y^2=5,\\x+y=-3.\end{cases}$$ - Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Проплыв 6 км, он бросил вёсла, и через 4 ч 30 мин после отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки.
а) $$\begin{cases}x+y=8,\\xy=-20.\end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=8-y$$. Подставим во второе:
$$(8-y)y=-20$$
$$y^2-8y-20=0$$
$$D=64+80=144,\quad y_{1,2}=\frac{8\pm 12}{2}$$
$$y_1=10,\quad y_2=-2$$
Тогда
$$x=8-10=-2,\quad x=8-(-2)=10$$
Получаем пары решений: $$(-2;10)$$ и $$(10;-2)$$.
б) $$\begin{cases}x-y=0{,}8,\\xy=2{,}4.\end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=y+0{,}8$$. Подставим во второе:
$$(y+0{,}8)y=2{,}4$$
$$y^2+0{,}8y-2{,}4=0$$
$$D=0{,}64+9{,}6=10{,}24,\quad \sqrt D=3{,}2$$
$$y_{1,2}=\frac{-0{,}8\pm 3{,}2}{2}$$
$$y_1=1{,}2,\quad y_2=-2$$
Тогда
$$x=1{,}2+0{,}8=2,\quad x=-2+0{,}8=-1{,}2$$
Получаем пары решений: $$(-1{,}2;-2)$$ и $$(2;1{,}2)$$.
в) $$\begin{cases}x^2-y^2=8,\\x-y=4.\end{cases}$$
Используем формулу разности квадратов:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$
Тогда
$$4(x+y)=8,\quad x+y=2$$
Решаем систему
$$\begin{cases}x-y=4,\\x+y=2.\end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2x=6,\quad x=3$$
$$y=x-4=3-4=-1$$
Ответ: $$(3;-1)$$.
г) $$\begin{cases}x^2+y^2=5,\\x+y=-3.\end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=-y-3$$. Подставим в первое:
$$(-y-3)^2+y^2=5$$
$$y^2+6y+9+y^2=5$$
$$2y^2+6y+4=0$$
$$y^2+3y+2=0$$
$$(y+1)(y+2)=0$$
$$y=-1 \text{ или } y=-2$$
Тогда
$$x=-(-1)-3=-2,\quad x=-(-2)-3=-1$$
Получаем пары решений: $$(-2;-1)$$ и $$(-1;-2)$$.
Задача на движение. Пусть $$v$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки в стоячей воде равна $$90\text{ м/мин}=5{,}4\text{ км/ч}$$.
По течению скорость равна $$5{,}4+v$$, против течения — $$5{,}4-v$$.
Рыболов плыл вверх по реке 6 км, затем течение отнесло его обратно 6 км. Общее время равно $$4{,}5$$ ч, значит:
$$\frac{6}{5{,}4-v}+\frac{6}{v}=4{,}5$$
Умножим на $$v(5{,}4-v)$$:
$$6v+6(5{,}4-v)=4{,}5v(5{,}4-v)$$
$$32{,}4=24{,}3v-4{,}5v^2$$
$$4{,}5v^2-24{,}3v+32{,}4=0$$
Умножим на 10 и разделим на 9:
$$5v^2-27v+36=0$$
$$D=27^2-4\cdot 5\cdot 36=729-720=9$$
$$v_{1,2}=\frac{27\pm 3}{10}$$
$$v_1=3,\quad v_2=2{,}4$$
Оба значения подходят.
Ответ
а) $$(10;-2)$$ и $$(-2;10)$$; б) $$(-1{,}2;-2)$$ и $$(2;1{,}2)$$; в) $$(3;-1)$$; г) $$(-1;-2)$$ и $$(-2;-1)$$; скорость течения реки $$2{,}4$$ км/ч или $$3$$ км/ч.
