Упр.704 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) {x — y = 3, xy = -2;
б) {x + y = 2,5, xy = 1,5;
в) {x + y = -1, x^2 + y^2 = 1;
г) {x — y = 2, x^2 — y^2 = 17. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шёл быстрее его на 12 км/ч?

Подробный ответ

а) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=y+3$$
Подставим во второе уравнение:
$$ (y+3)y=-2 \\ y^2+3y+2=0 \\ (y+1)(y+2)=0 $$
Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-2$$.
Если $$y=-1$$, то $$x=2$$. Если $$y=-2$$, то $$x=1$$.
Получаем пары: $$ (2;-1) $$ и $$ (1;-2) $$.
б) Выразим $$x$$:
$$x=2{,}5-y$$
Подставим во второе уравнение:
$$ (2{,}5-y)y=1{,}5 \\ y^2-2{,}5y+1{,}5=0 $$
$$ (y-1)(y-1{,}5)=0 $$
Значит, $$y=1$$ или $$y=1{,}5$$.
Тогда $$x=1{,}5$$ или $$x=1$$ соответственно.
Получаем пары: $$ (1{,}5;1) $$ и $$ (1;1{,}5) $$.
в) Из первого уравнения:
$$x=-y-1$$
Подставим во второе уравнение:
$$ (-y-1)^2+y^2=1 \\ y^2+2y+1+y^2=1 \\ 2y^2+2y=0 \\ 2y(y+1)=0 $$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=-1$$.
Если $$y=0$$, то $$x=-1$$. Если $$y=-1$$, то $$x=0$$.
Получаем пары: $$ (-1;0) $$ и $$ (0;-1) $$.
г) Из первого уравнения:
$$x=y+2$$
Подставим во второе уравнение:
$$ (y+2)^2-y^2=17 \\ y^2+4y+4-y^2=17 \\ 4y=13 \\ y=\frac{13}{4} $$
Тогда
$$x=\frac{13}{4}+2=\frac{21}{4}$$
Получаем пару: $$\left(\frac{21}{4};\frac{13}{4}\right)$$.
Пусть $$x$$ км/ч — скорость плота, тогда скорость катера $$x+12$$ км/ч.
Время движения плота:
$$\frac{20}{x}$$
Время движения катера:
$$\frac{20}{x+12}$$
По условию плот был в пути на $$5\text{ ч }20\text{ мин} = 5\frac{1}{3}$$ ч дольше:
$$ \frac{20}{x}-\frac{20}{x+12}=5\frac{1}{3} $$
$$ \frac{20(x+12)-20x}{x(x+12)}=\frac{16}{3} $$
$$ \frac{240}{x(x+12)}=\frac{16}{3} $$
$$ 720=16x(x+12) $$
$$ x^2+12x-45=0 $$
$$ D=12^2-4\cdot 1\cdot(-45)=324 $$
$$ x=\frac{-12\pm 18}{2} $$
$$x=3$$ или $$x=-15$$, но отрицательное значение не подходит.
Значит, скорость плота равна $$3$$ км/ч.