Упр.703 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) {x = 3 — y, y^2 — x = 39;
б) {y = 1 + x, x + y^2 = -1;
в) {x^2 + y = 14, y — x = 8;
г) {x + y = 4, y + xy = 6. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км поднялась по её притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость течения в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в её притоке. Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.
а) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=3-y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$y^2-(3-y)=39$$
$$y^2+y-42=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(y+7\right)\left(y-6\right)=0,$$
откуда $$y=-7$$ или $$y=6.$$
Тогда
$$x=3-(-7)=10,$$
$$x=3-6=-3.$$
Получаем пары решений: $$\left(10;-7\right)$$ и $$\left(-3;6\right).$$
б) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=1+x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x+\left(1+x\right)^2=-1$$
$$x+x^2+2x+1=-1$$
$$x^2+3x+2=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0,$$
откуда $$x=-1$$ или $$x=-2.$$
Тогда
$$y=1+(-1)=0,$$
$$y=1+(-2)=-1.$$
Получаем пары решений: $$\left(-2;-1\right)$$ и $$\left(-1;0\right).$$
в) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$y=x+8.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2+\left(x+8\right)=14$$
$$x^2+x-6=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0,$$
откуда $$x=-3$$ или $$x=2.$$
Тогда
$$y=-3+8=5,$$
$$y=2+8=10.$$
Получаем пары решений: $$\left(-3;5\right)$$ и $$\left(2;10\right).$$
г) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=4-y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$y+\left(4-y\right)y=6$$
$$y+4y-y^2=6$$
$$y^2-5y+6=0.$$
Разложим на множители:
$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0,$$
откуда $$y=2$$ или $$y=3.$$
Тогда
$$x=4-2=2,$$
$$x=4-3=1.$$
Получаем пары решений: $$\left(2;2\right)$$ и $$\left(1;3\right).$$
Пусть $$v$$ км/ч — скорость течения в притоке, тогда скорость течения в реке равна $$v-1$$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки:
$$10-\left(v-1\right)=11-v.$$
Скорость лодки по притоку:
$$10-v.$$
По условию на весь путь затрачено 8 ч, значит:
$$\frac{35}{11-v}+\frac{18}{10-v}=8.$$
Умножим на $$\left(11-v\right)\left(10-v\right):$$
$$35\left(10-v\right)+18\left(11-v\right)=8\left(11-v\right)\left(10-v\right)$$
$$350-35v+198-18v=8\left(110-21v+v^2\right)$$
$$548-53v=880-168v+8v^2$$
$$8v^2-115v+332=0.$$
Найдём корни:
$$D=115^2-4\cdot 8\cdot 332=2601=51^2.$$
$$v=\frac{115\pm 51}{16}.$$
Получаем:
$$v_1=\frac{166}{16}, \quad v_2=\frac{64}{16}=4.$$
Значение $$v_1$$ не подходит, так как тогда $$10-v<0.$$
Следовательно, скорость течения в притоке равна $$4$$ км/ч, а скорость течения в реке:
$$4-1=3.$$
Ответ
а) $$\left(10;-7\right), \left(-3;6\right);$$ б) $$\left(-2;-1\right), \left(-1;0\right);$$ в) $$\left(-3;5\right), \left(2;10\right);$$ г) $$\left(2;2\right), \left(1;3\right);$$ скорость течения в реке $$3$$ км/ч.
