Упр.702 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) {y^2 — x = -1, x = y + 3;
б) {y = x — 1, x^2 — 2y = 26;
в) {xy + x = -4, x — y = 6;
г) {x + y = 9, y^2 + x = 29. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а обратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше, чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 12 км/ч.

Подробный ответ

а) Подставим $$x=y+3$$ в первое уравнение:
$$ y^2-(y+3)=-1 $$
$$ y^2-y-2=0 $$
$$ (y-2)(y+1)=0 $$
$$ y=2 \text{ или } y=-1 $$
Тогда:
если $$y=2$$, то $$x=2+3=5$$;
если $$y=-1$$, то $$x=-1+3=2$$.
Ответ: $$(2;-1)$$ и $$(5;2)$$.
б) Подставим $$y=x-1$$ во второе уравнение:
$$ x^2-2(x-1)=26 $$
$$ x^2-2x-24=0 $$
$$ (x-6)(x+4)=0 $$
$$ x=6 \text{ или } x=-4 $$
Тогда:
если $$x=6$$, то $$y=6-1=5$$;
если $$x=-4$$, то $$y=-4-1=-5$$.
Ответ: $$(-4;-5)$$ и $$(6;5)$$.
в) Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$ x-y=6 \Rightarrow x=y+6 $$
Подставим в первое уравнение:
$$ (y+6)y+(y+6)=-4 $$
$$ y^2+7y+6=-4 $$
$$ y^2+7y+10=0 $$
$$ (y+5)(y+2)=0 $$
$$ y=-5 \text{ или } y=-2 $$
Тогда:
если $$y=-5$$, то $$x=-5+6=1$$;
если $$y=-2$$, то $$x=-2+6=4$$.
Ответ: $$(1;-5)$$ и $$(4;-2)$$.
г) Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$ x=9-y $$
Подставим во второе уравнение:
$$ y^2+(9-y)=29 $$
$$ y^2-y-20=0 $$
$$ (y-5)(y+4)=0 $$
$$ y=5 \text{ или } y=-4 $$
Тогда:
если $$y=5$$, то $$x=9-5=4$$;
если $$y=-4$$, то $$x=9-(-4)=13$$.
Ответ: $$(13;-4)$$ и $$(4;5)$$.
Турист проехал вверх по реке $$25$$ км, а обратно спустился на плоту. Пусть $$v$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки против течения равна $$12-v$$ км/ч.
Время движения на лодке:
$$ \frac{25}{12-v} $$
Время движения на плоту:
$$ \frac{25}{v} $$
По условию на лодке турист плыл на $$10$$ ч меньше, чем на плоту:
$$ \frac{25}{v}-\frac{25}{12-v}=10 $$
Умножим на $$v(12-v)$$:
$$ 25(12-v)-25v=10v(12-v) $$
$$ 300-50v=120v-10v^2 $$
$$ 10v^2-170v+300=0 $$
$$ v^2-17v+30=0 $$
$$ (v-15)(v-2)=0 $$
$$ v=15 \text{ или } v=2 $$
Значение $$v=15$$ не подходит, так как скорость течения не может быть больше скорости лодки в стоячей воде. Значит, $$v=2$$.
Ответ: $$2$$ км/ч.