Упр.698 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) {у = х^3, xy = -12;
б) {y = х^2 + 8, y = -x^2 + 12;
в) {у = x^2 + 1, xy = 3.
На перегоне в 600 км после прохождения 1/4 пути поезд был задержан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколько времени поезд был в пути?

Подробный ответ

а) Рассмотрим графики уравнений $$y=x^3$$ и $$xy=-12,$$ то есть $$y=-\frac{12}{x}.$$
График $$y=x^3$$ — возрастающая кубическая парабола, а график $$y=-\frac{12}{x}$$ — гипербола. Эти графики не пересекаются, значит, система решений не имеет.
б) Рассмотрим графики уравнений $$y=x^2+8$$ и $$y=-x^2+12.$$
Это две параболы, ветви которых направлены соответственно вверх и вниз. Их графики пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения.
в) Рассмотрим графики уравнений $$y=x^2+1$$ и $$xy=3,$$ то есть $$y=\frac{3}{x}.$$
График $$y=x^2+1$$ — парабола, а график $$y=\frac{3}{x}$$ — гипербола. Эти графики пересекаются в одной точке, значит, система имеет одно решение.
Задача о поезде. Пусть $$v$$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда после увеличения скорость стала $$v+15$$ км/ч.
За $$\frac14$$ пути поезд прошёл $$600:4=150$$ км, значит, оставалось $$600-150=450$$ км.
Задержка составила $$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac32\text{ ч}.$$
Составим уравнение по времени движения:
$$ \frac{150}{v}+\frac{450}{v+15}+\frac32=\frac{600}{v} $$
Перенесём и упростим:
$$ \frac{450}{v+15}+\frac32=\frac{450}{v} $$
$$ 900v+3v(v+15)=900(v+15) $$
$$ 3v^2+45v-13500=0 $$
$$ v^2+15v-4500=0 $$
$$ D=15^2+4\cdot 4500=18225=135^2 $$
$$ v=\frac{-15\pm 135}{2} $$
Получаем $$v_1=-75$$, $$v_2=60.$$ Отрицательное значение не подходит, значит, первоначальная скорость поезда равна $$60$$ км/ч.
Тогда время в пути:
$$ t=\frac{600}{60}=10 $$