Упр.698 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:
а) $$\begin{cases} y=x^3,\\ xy=-12; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} y=x^2+8,\\ y=-x^2+12; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} y=x^2+1,\\ xy=3. \end{cases}$$ - На перегоне в $$600\ \text{км}$$ после прохождения $$\frac{1}{4}$$ пути поезд был задержан на $$1\ \text{ч}\ 30\ \text{мин}$$. Чтобы прийти на конечную станцию вовремя, машинист увеличил скорость поезда на $$15\ \text{км/ч}$$. Сколько времени поезд был в пути?
а) Рассмотрим графики уравнений $$y=x^3$$ и $$xy=-12,$$ то есть $$y=-\frac{12}{x}.$$
График $$y=x^3$$ — возрастающая кубическая парабола, а график $$y=-\frac{12}{x}$$ — гипербола. Эти графики не пересекаются, значит, система решений не имеет.
б) Рассмотрим графики уравнений $$y=x^2+8$$ и $$y=-x^2+12.$$
Это две параболы, ветви которых направлены соответственно вверх и вниз. Их графики пересекаются в двух точках, значит, система имеет два решения.
в) Рассмотрим графики уравнений $$y=x^2+1$$ и $$xy=3,$$ то есть $$y=\frac{3}{x}.$$
График $$y=x^2+1$$ — парабола, а график $$y=\frac{3}{x}$$ — гипербола. Эти графики пересекаются в одной точке, значит, система имеет одно решение.
Задача о поезде. Пусть $$v$$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда после увеличения скорость стала $$v+15$$ км/ч.
За $$\frac14$$ пути поезд прошёл $$600:4=150$$ км, значит, оставалось $$600-150=450$$ км.
Задержка составила $$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac32\text{ ч}.$$
Составим уравнение по времени движения:
$$\frac{150}{v}+\frac{450}{v+15}+\frac32=\frac{600}{v}$$
Перенесём и упростим:
$$\frac{450}{v+15}+\frac32=\frac{450}{v}$$
$$900v+3v(v+15)=900(v+15)$$
$$3v^2+45v-13500=0$$
$$v^2+15v-4500=0$$
$$D=15^2+4\cdot 4500=18225=135^2$$
$$v=\frac{-15\pm 135}{2}$$
Получаем $$v_1=-75$$, $$v_2=60.$$ Отрицательное значение не подходит, значит, первоначальная скорость поезда равна $$60$$ км/ч.
Тогда время в пути:
$$t=\frac{600}{60}=10$$
Ответ
а) решений нет; б) два решения; в) одно решение; поезд был в пути $$10$$ ч.
