Упр.697 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите графически систему уравнений:
   $$\begin{cases} y-x^2=0,\\ 2x-y+3=0. \end{cases}$$
2. Найдите значения переменной $$y$$, при которых:

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} y-x^2=0,\\ 2x-y+3=0. \end{cases}$$

   Из первого уравнения получаем $$y=x^2$$, из второго — $$y=2x+3$$.

   Точки пересечения графиков найдём из уравнения

   $$x^2=2x+3.$$

   $$x^2-2x-3=0$$

   $$(x-3)(x+1)=0$$

   $$x=3 \text{ или } x=-1.$$

   Найдём соответствующие значения $$y$$:

   $$y=3^2=9,\qquad y=(-1)^2=1.$$

   Следовательно, графики пересекаются в точках $$(-1;1)$$ и $$(3;9).$$

2. а) $$\dfrac{6}{y+1}+\dfrac{y}{y-2}=\dfrac{6}{y+1}\cdot\dfrac{y}{y-2}$$

   ОДЗ: $$y\ne -1,\; y\ne 2.$$

   Умножим обе части на $$(y+1)(y-2)$$:

   $$6(y-2)+y(y+1)=6y$$

   $$6y-12+y^2+y=6y$$

   $$y^2+y-12=0$$

   $$(y+4)(y-3)=0$$

   $$y=-4 \text{ или } y=3.$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

3. б) $$\dfrac{2}{y-3}+\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{2}{y-3}:\dfrac{6}{y+3}$$

   ОДЗ: $$y\ne -3,\; y\ne 3.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\dfrac{2}{y-3}:\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{2}{y-3}\cdot\dfrac{y+3}{6}=\dfrac{y+3}{3(y-3)}.$$

   Тогда

   $$\dfrac{2}{y-3}+\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{y+3}{3(y-3)}.$$

   Умножим на $$3(y-3)(y+3)$$:

   $$6(y+3)+18(y-3)=(y+3)^2$$

   $$24y-36=y^2+6y+9$$

   $$y^2-18y+45=0$$

   $$(y-3)(y-15)=0$$

   $$y=3 \text{ или } y=15.$$

   Значение $$y=3$$ не подходит по ОДЗ, значит $$y=15.$$

4. в) $$\dfrac{y+12}{y-4}-\dfrac{y}{y+4}=\dfrac{y+12}{y-4}\cdot\dfrac{y}{y+4}$$

   ОДЗ: $$y\ne -4,\; y\ne 4.$$

   Умножим обе части на $$(y-4)(y+4)$$:

   $$(y+12)(y+4)-y(y-4)=y(y+12)$$

   $$y^2+16y+48-y^2+4y=y^2+12y$$

   $$y^2-8y-48=0$$

   $$(y-12)(y+4)=0$$

   $$y=12 \text{ или } y=-4.$$

   Значение $$y=-4$$ не подходит по ОДЗ, значит $$y=12.$$

Ответ

$$(-1;1),\ (3;9); \quad \text{а) } y=-4,\ 3; \quad \text{б) } y=15; \quad \text{в) } y=12.$$