Упр.697 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

{у — х^2 = 0, 2х — у + 3 = 0. Найдите значения переменной у, при которых:

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} y-x^2=0,\\ 2x-y+3=0. \end{cases} $$
Из первого уравнения получаем $$y=x^2$$, из второго — $$y=2x+3$$.
Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$x^2=2x+3.$$
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ (x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=3 \text{ или } x=-1. $$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$ y=3^2=9,\qquad y=(-1)^2=1. $$
Следовательно, графики пересекаются в точках $$(-1;1)$$ и $$ (3;9).$$
а) $$\dfrac{6}{y+1}+\dfrac{y}{y-2}=\dfrac{6}{y+1}\cdot\dfrac{y}{y-2}$$
ОДЗ: $$y\ne -1,\; y\ne 2.$$
Умножим обе части на $$ (y+1)(y-2) $$:
$$ 6(y-2)+y(y+1)=6y $$
$$ 6y-12+y^2+y=6y $$
$$ y^2+y-12=0 $$
$$ (y+4)(y-3)=0 $$
$$ y=-4 \text{ или } y=3. $$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
б) $$\dfrac{2}{y-3}+\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{2}{y-3}:\dfrac{6}{y+3}$$
ОДЗ: $$y\ne -3,\; y\ne 3.$$
Преобразуем правую часть:
$$ \dfrac{2}{y-3}:\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{2}{y-3}\cdot\dfrac{y+3}{6}=\dfrac{y+3}{3(y-3)}. $$
Тогда
$$ \dfrac{2}{y-3}+\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{y+3}{3(y-3)}. $$
Умножим на $$3(y-3)(y+3)$$:
$$ 6(y+3)+18(y-3)=(y+3)^2 $$
$$ 24y-36=y^2+6y+9 $$
$$ y^2-18y+45=0 $$
$$ (y-3)(y-15)=0 $$
$$ y=3 \text{ или } y=15. $$
Значение $$y=3$$ не подходит по ОДЗ, значит $$y=15.$$
в) $$\dfrac{y+12}{y-4}-\dfrac{y}{y+4}=\dfrac{y+12}{y-4}\cdot\dfrac{y}{y+4}$$
ОДЗ: $$y\ne -4,\; y\ne 4.$$
Умножим обе части на $$ (y-4)(y+4) $$:
$$ (y+12)(y+4)-y(y-4)=y(y+12) $$
$$ y^2+16y+48-y^2+4y=y^2+12y $$
$$ y^2-8y-48=0 $$
$$ (y-12)(y+4)=0 $$
$$ y=12 \text{ или } y=-4. $$
Значение $$y=-4$$ не подходит по ОДЗ, значит $$y=12.$$