Упр.693 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Из города $$A$$ в город $$B$$ автомобиль ехал со скоростью $$80\ \text{км/ч}$$, а обратно — со скоростью $$90\ \text{км/ч}$$. При этом путь из города $$B$$ в город $$A$$ занял на $$1\ \text{ч}$$ меньше, чем путь из города $$A$$ в город $$B$$. Найдите расстояние между городами $$A$$ и $$B$$.
Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $$y=2x+3$$ и $$y=\frac{34}{x-5}$$;

б) $$y=\frac{x^2-5x}{x+3}$$ и $$y=2x$$.

Подробный ответ

1) Пусть расстояние между городами равно $$x$$ км. Тогда на путь из города $$A$$ в город $$B$$ автомобиль затратил $$\frac{x}{80}$$ ч, а на обратный путь — $$\frac{x}{90}$$ ч.

По условию обратный путь занял на 1 ч меньше:

$$\frac{x}{80}-\frac{x}{90}=1$$

Умножим обе части на $$720$$:

$$9x-8x=720$$

$$x=720$$

Значит, расстояние между городами равно $$720$$ км.

2) Найдём точки пересечения графиков.

$$y=2x+3$$ и $$y=\frac{34}{x-5}$$, $$x\ne 5$$.
Приравняем значения функций:
$$2x+3=\frac{34}{x-5}$$
$$(2x+3)(x-5)=34$$
$$2x^2-10x+3x-15-34=0$$
$$2x^2-7x-49=0$$
$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-49)=49+392=441$$
$$x=\frac{7\pm 21}{4}$$
$$x_1=7,\quad x_2=-3{,}5$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
при $$x=7$$: $$y=2\cdot 7+3=17$$;
при $$x=-3{,}5$$: $$y=2\cdot(-3{,}5)+3=-4$$.
Точки пересечения: $$(7; 17)$$ и $$(-3{,}5; -4)$$.
$$y=\frac{x^2-5x}{x+3}$$ и $$y=2x$$, $$x\ne -3$$.
Приравняем:
$$\frac{x^2-5x}{x+3}=2x$$
$$x^2-5x=2x(x+3)$$
$$x^2-5x=2x^2+6x$$
$$x^2+11x=0$$
$$x(x+11)=0$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-11$$
Найдём $$y$$:
при $$x=0$$: $$y=2\cdot 0=0$$;
при $$x=-11$$: $$y=2\cdot(-11)=-22$$.
Точки пересечения: $$(0; 0)$$ и $$(-11; -22)$$.