Упр.692 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- В системе двух уравнений с двумя переменными первым является уравнение $$y-|x|=0$$, а вторым — уравнение вида $$y=kx+b$$, где $$k$$ и $$b$$ — некоторые числа. Известно, что прямая — график второго уравнения пересекает ось $$x$$ в точке $$(-3;0)$$. Подберите в уравнении $$y=kx+b$$ коэффициенты $$k$$ и $$b$$ так, чтобы система: 1) имела два решения; 2) имела одно решение; 3) не имела решений.
- При каком значении $$x$$: а) значение функции $$y=\frac{5x-7}{x^2+1}$$ равно $$-6$$; $$0$$; $$0{,}8$$; $$0{,}56$$; б) значение функции $$y=\frac{x^2-2x+6}{x+4}$$ равно $$1{,}5$$; $$3$$; $$7$$?
1) Из уравнения $$y-|x|=0$$ получаем $$y=|x|.$$ Его график состоит из двух лучей: $$y=x$$ при $$x\ge 0$$ и $$y=-x$$ при $$x<0$$.
Прямая $$y=kx+b$$ пересекает ось $$x$$ в точке $$(-3;0)$$, значит
$$0=-3k+b \Rightarrow b=3k.$$
1. Система имеет два решения. Тогда прямая должна пересекать оба луча графика $$y=|x|$$. Подойдёт, например, $$0<k<1$$. Возьмём $$k=0{,}5$$, тогда $$b=1{,}5$$.
Получаем:
$$y=0{,}5x+1{,}5.$$
2. Система имеет одно решение. Тогда прямая должна касаться графика $$y=|x|$$, то есть совпадать по наклону с одним из его лучей. Подойдёт $$k=1$$, тогда $$b=3$$.
Получаем:
$$y=x+3.$$
3. Система не имеет решений. Тогда прямая должна быть параллельна одному из лучей графика $$y=|x|$$ и не пересекать его. Подойдёт $$k=-1$$, тогда $$b=-3$$.
Получаем:
$$y=-x-3.$$
2) Решим уравнения.
а) $$\dfrac{5x-7}{x^2+1}=-6,\,0,\,0{,}8,\,0{,}56.$$
Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x$$, ограничений нет.
При $$y=-6$$:
$$-6=\frac{5x-7}{x^2+1} \\ -6(x^2+1)=5x-7 \\ 6x^2+5x-1=0$$
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot(-1)=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{12}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac16.$$
При $$y=0$$:
$$0=\frac{5x-7}{x^2+1} \\ 5x-7=0 \\ x=\frac75=1{,}4$$
При $$y=0{,}8$$:
$$0{,}8=\frac{5x-7}{x^2+1} \\ 0{,}8(x^2+1)=5x-7 \\ 4x^2-25x+39=0$$
$$D=25^2-4\cdot 4\cdot 39=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{25\pm 1}{8}$$
$$x_1=3,\quad x_2=\frac{13}{4}=3\frac14.$$
При $$y=0{,}56$$:
$$0{,}56=\frac{5x-7}{x^2+1} \\ 14x^2-125x+189=0$$
$$D=125^2-4\cdot 14\cdot 189=5041=71^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{125\pm 71}{28}$$
$$x_1=\frac{27}{14}=1\frac{13}{14},\quad x_2=7.$$
б) $$\dfrac{x^2-2x+6}{x+4}=1{,}5,\,3,\,7,\quad x\ne -4.$$
При $$y=1{,}5$$:
$$1{,}5=\frac{x^2-2x+6}{x+4} \\ 1{,}5x+6=x^2-2x+6 \\ x^2-3{,}5x=0 \\ x(x-3{,}5)=0$$
$$x=0,\quad x=3{,}5.$$
При $$y=3$$:
$$3=\frac{x^2-2x+6}{x+4} \\ 3x+12=x^2-2x+6 \\ x^2-5x-6=0$$
$$D=25+24=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=6.$$
При $$y=7$$:
$$7=\frac{x^2-2x+6}{x+4} \\ 7x+28=x^2-2x+6 \\ x^2-9x-22=0$$
$$D=81+88=169,$$
$$x_{1,2}=\frac{9\pm 13}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=11.$$
Ответ
1) $$k=0{,}5,\ b=1{,}5$$; $$k=1,\ b=3$$; $$k=-1,\ b=-3$$.
2а) $$y=-6:\ x=-1,\ \frac16;\quad y=0:\ x=1{,}4;\quad y=0{,}8:\ x=3,\ \frac{13}{4};\quad y=0{,}56:\ x=\frac{27}{14},\ 7.$$
2б) $$y=1{,}5:\ x=0,\ 3{,}5;\quad y=3:\ x=-1,\ 6;\quad y=7:\ x=-2,\ 11.$$
