Упр.691 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

{2х — у = 5; x + y = 1; и {(2х — у) + (х + у) = 5 + 1; x + y = 1.
Найдите координаты точек пересечения с осью х графика функции, заданной формулой:

1) Преобразуем первую систему:

$$ \begin{cases} 2x-y=5 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=2x-5 \\ y=-x+1 \end{cases} $$

Во второй системе сложим уравнения:

$$ \begin{cases} (2x-y)+(x+y)=5+1 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x=6 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases} $$

Обе системы имеют одну и ту же точку пересечения $$ (2;\,-1) $$. Значит, они равносильны.

2) Найдём точки пересечения графика с осью $$Ox$$, то есть при $$y=0$$.

а) $$y=\dfrac{2x-5}{x+3}, \quad x\ne -3$$

$$ 0=\frac{2x-5}{x+3} \Rightarrow 2x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}=2{,}5 $$

Точка пересечения: $$ (2{,}5;\,0) $$.

б) $$y=\dfrac{(x-4)(3x-15)}{x-9}, \quad x\ne 9$$

$$ 0=\frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} \Rightarrow (x-4)(3x-15)=0 $$

$$ x-4=0 \Rightarrow x=4, \qquad 3x-15=0 \Rightarrow x=5 $$

Точки пересечения: $$ (4;\,0) $$ и $$ (5;\,0) $$.

в) $$y=\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}, \quad x\ne 2$$

$$ 0=\frac{x^2-5x+6}{x-2} \Rightarrow x^2-5x+6=0 $$

$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 $$

Корень $$x=2$$ не подходит, так как $$x\ne 2$$. Остаётся $$x=3$$.

Точка пересечения: $$ (3;\,0) $$.

г) $$y=\dfrac{x^3-7x^2+12x}{x-3}, \quad x\ne 3$$

$$ 0=\frac{x^3-7x^2+12x}{x-3} \Rightarrow x^3-7x^2+12x=0 $$

$$ x(x^2-7x+12)=0 $$

$$ x=0 \quad \text{или} \quad x^2-7x+12=0 $$

$$ x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0 $$

Корень $$x=3$$ не подходит, так как $$x\ne 3$$. Остаются $$x=0$$ и $$x=4$$.

Точки пересечения: $$ (0;\,0) $$ и $$ (4;\,0) $$.

Ответ

Системы равносильны, их общая точка пересечения: $$ (2;\,-1) $$.

а) $$ (2{,}5;\,0) $$; б) $$ (4;\,0) $$ и $$ (5;\,0) $$; в) $$ (3;\,0) $$; г) $$ (0;\,0) $$ и $$ (4;\,0) $$.