Упр.691 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2026 года. Используя графики уравнений, изображённые на рисунке 30, объясните графический смысл равносильности систем уравнений
   $$\begin{cases}2x-y=5,\\x+y=1,\end{cases}$$
   и
   $$\begin{cases}(2x-y)+(x+y)=5+1,\\x+y=1.\end{cases}$$
2. Задание учебника 2019 года. Найдите координаты точек пересечения с осью $$x$$ графика функции, заданной формулой.

1) Преобразуем первую систему:

$$\begin{cases} 2x-y=5 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=2x-5 \\ y=-x+1 \end{cases}$$

Во второй системе сложим уравнения:

$$\begin{cases} (2x-y)+(x+y)=5+1 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x=6 \\ x+y=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$$

Обе системы имеют одну и ту же точку пересечения $$(2;\,-1)$$. Значит, они равносильны.

2) Найдём точки пересечения графика с осью $$Ox$$, то есть при $$y=0$$.

а) $$y=\dfrac{2x-5}{x+3}, \quad x\ne -3$$

$$0=\frac{2x-5}{x+3} \Rightarrow 2x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}=2{,}5$$

Точка пересечения: $$(2{,}5;\,0)$$.

б) $$y=\dfrac{(x-4)(3x-15)}{x-9}, \quad x\ne 9$$

$$0=\frac{(x-4)(3x-15)}{x-9} \Rightarrow (x-4)(3x-15)=0$$

$$x-4=0 \Rightarrow x=4, \qquad 3x-15=0 \Rightarrow x=5$$

Точки пересечения: $$(4;\,0)$$ и $$(5;\,0)$$.

в) $$y=\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}, \quad x\ne 2$$

$$0=\frac{x^2-5x+6}{x-2} \Rightarrow x^2-5x+6=0$$

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$$

Корень $$x=2$$ не подходит, так как $$x\ne 2$$. Остаётся $$x=3$$.

Точка пересечения: $$(3;\,0)$$.

г) $$y=\dfrac{x^3-7x^2+12x}{x-3}, \quad x\ne 3$$

$$0=\frac{x^3-7x^2+12x}{x-3} \Rightarrow x^3-7x^2+12x=0$$

$$x(x^2-7x+12)=0$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x^2-7x+12=0$$

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)=0$$

Корень $$x=3$$ не подходит, так как $$x\ne 3$$. Остаются $$x=0$$ и $$x=4$$.

Точки пересечения: $$(0;\,0)$$ и $$(4;\,0)$$.

Ответ

Системы равносильны, их общая точка пересечения: $$(2;\,-1)$$.

а) $$(2{,}5;\,0)$$; б) $$(4;\,0)$$ и $$(5;\,0)$$; в) $$(3;\,0)$$; г) $$(0;\,0)$$ и $$(4;\,0)$$.