Упр.690 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Прямая а задана уравнением х + 2у = 5. Среди уравнений прямых: x + у = 5; 1/4 y — 4х = 0; 6y + 3х = 10; 0,6x — 3 = -1,2; 2х + 4у = 10; 2х + 4у = 9; 15 — 3х = 6у; 0,5у + 0,25х = 4,8 найдите те, которые вместе с уравнением прямой а образуют систему: 1) имеющую единственное решение; 2) не имеющую решений; 3) имеющую бесконечно много решений. Решите уравнение:

Подробный ответ

Прямая $$a$$ задана уравнением $$x+2y=5$$, то есть

$$2y=-x+5,\quad y=-0{,}5x+2{,}5.$$

Приведём уравнения данных прямых к виду $$y=kx+b$$:

$$x+y=5 \;\Longleftrightarrow\; y=-x+5;$$
$$\frac14y-4x=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac14y=4x \;\Longleftrightarrow\; y=16x;$$
$$6y+3x=10 \;\Longleftrightarrow\; 6y=-3x+10 \;\Longleftrightarrow\; y=-0{,}5x+\frac53;$$
$$0{,}6x-3=-1{,}2 \;\Longleftrightarrow\; 0{,}6x=1{,}8 \;\Longleftrightarrow\; x=3;$$
$$2x+4y=10 \;\Longleftrightarrow\; 4y=-2x+10 \;\Longleftrightarrow\; y=-0{,}5x+2{,}5;$$
$$2x+4y=9 \;\Longleftrightarrow\; 4y=-2x+9 \;\Longleftrightarrow\; y=-0{,}5x+2{,}25;$$
$$15-3x=6y \;\Longleftrightarrow\; 6y=-3x+15 \;\Longleftrightarrow\; y=-0{,}5x+2{,}5;$$
$$0{,}5y+0{,}25x=4{,}8 \;\Longleftrightarrow\; 0{,}5y=-0{,}25x+4{,}8 \;\Longleftrightarrow\; y=-0{,}5x+9{,}6.$$

Сравним с уравнением прямой $$a: y=-0{,}5x+2{,}5$$.

1) Единственное решение будет, если прямые пересекаются, то есть имеют разные угловые коэффициенты:

$$x+y=5,\quad \frac14y-4x=0,\quad 0{,}6x-3=-1{,}2.$$

2) Не имеют решений параллельные прямые с разными свободными членами:

$$6y+3x=10,\quad 2x+4y=9,\quad 0{,}5y+0{,}25x=4{,}8.$$

3) Имеют бесконечно много решений совпадающие прямые:

$$2x+4y=10,\quad 15-3x=6y.$$