Упр.689 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) {3x — y = 5; 3x + 2y = 8;
б) {2y — x = 4; y — 2x = 0;
в) {y = 0,5x + 2; y = 0,5x — 4. Известно, что уравнение х2 + рх + q = 0 имеет корни x1 и x2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа x1/x2 и x2/x1.

а) Преобразуем уравнения к виду y = kx + b:

$$ 3x-y=5 \Rightarrow y=3x-5 $$
$$ 3x+2y=8 \Rightarrow 2y=-3x+8 \Rightarrow y=-1{,}5x+4 $$
Угловые коэффициенты различны: $$k_1=3$$ и $$k_2=-1{,}5$$. Значит, прямые пересекаются, и система имеет единственное решение.

б) Преобразуем уравнения:

$$ 2y-x=4 \Rightarrow 2y=x+4 \Rightarrow y=0{,}5x+2 $$
$$ y-2x=0 \Rightarrow y=2x $$
Угловые коэффициенты различны: $$k_1=0{,}5$$ и $$k_2=2$$. Значит, прямые пересекаются, и система имеет единственное решение.

в) Даны прямые:

$$ y=0{,}5x+2 $$
$$ y=0{,}5x-4 $$
У них одинаковые угловые коэффициенты: $$k_1=k_2=0{,}5$$, но разные свободные члены: $$2 \ne -4$$. Значит, прямые параллельны, и система решений не имеет.

Теперь составим квадратное уравнение, корнями которого являются числа $$\frac{x_1}{x_2}$$ и $$\frac{x_2}{x_1}$$, если $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$.

По теореме Виета:

$$ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q $$

Сумма новых корней:

$$ \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} =\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} =\frac{p^2-2q}{q} =\frac{p^2}{q}-2 $$

Произведение новых корней:

$$ \frac{x_1}{x_2}\cdot\frac{x_2}{x_1}=1 $$

Тогда искомое квадратное уравнение:

$$ x^2-\left(\frac{p^2}{q}-2\right)x+1=0 $$

Ответ

а) Система имеет единственное решение.
б) Система имеет единственное решение.
в) Система не имеет решений.
Искомое уравнение: $$x^2-\left(\frac{p^2}{q}-2\right)x+1=0$$.