Упр.688 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) {7x + y = 8; x — y + 3 = 0;
б) {6y — 4x = 7; 8x — 12y = -14;
в) {x — 2y = 6; y = -4x?
1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены. Зная, что уравнение х2 + px + q = 0 имеет корни х1 и x2, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:
а) 3×1 и 3×2;
б) x1 + 2 и x2 + 2.

Для системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

если коэффициенты при одной переменной различны, то прямые пересекаются и система имеет единственное решение;

если коэффициенты при одной переменной пропорциональны, а свободные члены нет, то прямые параллельны и решений нет;

если коэффициенты и свободные члены пропорциональны, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

а)

$$ \begin{cases} 7x+y=8,\\ x-y+3=0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=-7x+8,\\ y=x+3 \end{cases} $$

Коэффициенты при $x$ различны, значит, система имеет единственное решение.

б)

$$ \begin{cases} 6y-4x=7,\\ 8x-12y=-14 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 6y=4x+7,\\ 12y=8x+14 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6},\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6} \end{cases} $$

Уравнения задают одну и ту же прямую, значит, система имеет бесконечно много решений.

в)

$$ \begin{cases} x-2y=6,\\ y=-4x \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2y=x-6,\\ y=-4x \end{cases} $$

$$ \begin{cases} y=\frac{1}{2}x-3,\\ y=-4x \end{cases} $$

Коэффициенты при $x$ различны, значит, система имеет единственное решение.

Теперь составим квадратные уравнения.

Если уравнение $$x^2+px+q=0$$ имеет корни $x_1$ и $x_2$, то

$$ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. $$

а) Корни: $3x_1$ и $3x_2$.

$$ 3x_1+3x_2=3(x_1+x_2)=-3p, $$
$$ (3x_1)(3x_2)=9x_1x_2=9q. $$

Тогда искомое уравнение:

$$ x^2+3px+9q=0. $$

б) Корни: $x_1+2$ и $x_2+2$.

$$ (x_1+2)+(x_2+2)=x_1+x_2+4=4-p, $$
$$ (x_1+2)(x_2+2)=x_1x_2+2x_1+2x_2+4=q-2p+4. $$

Тогда искомое уравнение:

$$ x^2-(4-p)x+(q-2p+4)=0. $$

Ответ

а) система имеет единственное решение; б) система имеет бесконечно много решений; в) система имеет единственное решение.

а) $$x^2+3px+9q=0$$; б) $$x^2-(4-p)x+(q-2p+4)=0$$.