Упр.687 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) {2x — 6y = 10; 8y = 7 — 2x;
б) {3x — 12 = 8y; 1,5x — 4y = 6;
в) {y = 4x; x — 8 = -6y;
г) {x + y = 5; 3x — 2y = 8;
д) {3 — 3y = 4x; -8x = 6y — 6;
е) {x + 4y = 5; x — y + 3 = 0. Известно, что х1 и х2 — корни уравнения х2 — 8х + к = 0, причём 3×1 + 4×2 = 29. Найдите k.
а) Преобразуем уравнения к виду $$y=kx+b$$:
$$2x-6y=10 \Rightarrow y=\frac13x-\frac53$$
$$8y=7-2x \Rightarrow y=-\frac14x+\frac78$$Так как $$k_1=\frac13$$ и $$k_2=-\frac14$$, то $$k_1\ne k_2$$. Прямые пересекаются, система имеет единственное решение.
б) Преобразуем:
$$3x-12=8y \Rightarrow y=\frac38x-\frac32$$
$$1{,}5x-4y=6 \Rightarrow y=\frac38x-\frac32$$Получили одно и то же уравнение прямой. Значит, прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.
в) Преобразуем:
$$y=4x$$
$$x-8=-6y \Rightarrow y=-\frac16x+\frac43$$Так как $$k_1=4$$ и $$k_2=-\frac16$$, то $$k_1\ne k_2$$. Прямые пересекаются, система имеет единственное решение.
г) Преобразуем:
$$x+y=5 \Rightarrow y=-x+5$$
$$3x-2y=8 \Rightarrow y=\frac32x-4$$Так как $$k_1=-1$$ и $$k_2=\frac32$$, то $$k_1\ne k_2$$. Прямые пересекаются, система имеет единственное решение.
д) Преобразуем:
$$3-3y=4x \Rightarrow y=-\frac43x+1$$
$$-8x=6y-6 \Rightarrow y=-\frac43x+1$$Получили одно и то же уравнение прямой. Значит, прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.
е) Преобразуем:
$$x+4y=5 \Rightarrow y=-\frac14x+\frac54$$
$$x-y+3=0 \Rightarrow y=x+3$$Так как $$k_1=-\frac14$$ и $$k_2=1$$, то $$k_1\ne k_2$$. Прямые пересекаются, система имеет единственное решение.
Теперь найдём $$k$$.
По теореме Виета для уравнения $$x^2-8x+k=0$$:
$$x_1+x_2=8,\quad x_1x_2=k.$$
Из условия $$3x_1+4x_2=29$$ и $$x_1+x_2=8$$ получаем:
$$3x_1+3x_2=24$$
$$\left(3x_1+4x_2\right)-\left(3x_1+3x_2\right)=29-24$$
$$x_2=5$$
Тогда $$x_1=8-5=3$$, значит,
$$k=x_1x_2=3\cdot 5=15.$$
Ответ
а) единственное решение; б) бесконечно много решений; в) единственное решение; г) единственное решение; д) бесконечно много решений; е) единственное решение; $$k=15$$.
