Упр.686 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (x^2 — 1)/6x^2 : (x^2 + x)/3;
б) (16n^2 — 1)/(n^2 — 2n) : 8n/(3n — 6);
в) (x — 4)/(y^2 — xy) : (5x — 20)/(x^2 — xy). Известно, что х1 и х2 — корни уравнения 3×2 + 2х + k = 0, причём 2×1 = —3×2. Найдите к.

Подробный ответ

а)
$$\frac{x^2-1}{6x^2}:\frac{x^2+x}{3}=\frac{x^2-1}{6x^2}\cdot\frac{3}{x^2+x}$$
$$=\frac{(x-1)(x+1)\cdot 3}{6x^2\cdot x(x+1)}=\frac{x-1}{2x^3}.$$
б)
$$\frac{16n^2-1}{n^2-2n}:\frac{8n}{3n-6}=\frac{16n^2-1}{n^2-2n}\cdot\frac{3n-6}{8n}$$
$$=\frac{(4n-1)(4n+1)\cdot 3(n-2)}{n(n-2)\cdot 8n}=\frac{3(16n^2-1)}{8n^2}=\frac{48n^2-3}{8n^2}.$$
в)
$$\frac{x-4}{y^2-xy}:\frac{5x-20}{x^2-xy}=\frac{x-4}{y^2-xy}\cdot\frac{x^2-xy}{5x-20}$$
$$=\frac{x-4}{y^2-xy}\cdot\frac{x(x-y)}{5(x-4)}=\frac{x(x-y)}{5(y^2-xy)}.$$
Так как $$y^2-xy=y(y-x)=-y(x-y),$$ то
$$\frac{x(x-y)}{5(y^2-xy)}=\frac{x(x-y)}{5\cdot(-y)(x-y)}=-\frac{x}{5y}.$$
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$3x^2+2x+k=0.$$ Тогда по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{2}{3}, \qquad x_1x_2=\frac{k}{3}.$$
По условию $$2x_1=-3x_2,$$ значит $$x_1=-\frac{3}{2}x_2.$$ Подставим в сумму корней:
$$-\frac{3}{2}x_2+x_2=-\frac{2}{3}$$
$$-\frac{1}{2}x_2=-\frac{2}{3}$$
$$x_2=\frac{4}{3}.$$
Тогда
$$x_1=-\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}=-2.$$
Теперь найдём $$k$$:
$$x_1x_2=\frac{k}{3}$$
$$-2\cdot\frac{4}{3}=\frac{k}{3}$$
$$-\frac{8}{3}=\frac{k}{3}$$
$$k=-8.$$