Упр.685 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{(2x+1)(2x-3)}{4}=x^2-1$$;
   б) $$x^2-\frac{(2x-1)x}{2}=2$$.
2. Квадрат разности корней уравнения $$x^2+px+405=0$$ равен $$144$$. Найдите $$p$$.

1. а) Умножим обе части уравнения на $$4$$:

   $$(2x+1)(2x-3)=4(x^2-1)$$

   Раскроем скобки:

   $$4x^2-6x+2x-3=4x^2-4$$

   $$-4x+1=0$$

   $$4x=1$$

   $$x=\frac14$$

2. б) Умножим обе части уравнения на $$2$$:

   $$2x^2-(2x-1)x=4$$

   Раскроем скобки:

   $$2x^2-2x^2+x=4$$

   $$x=4$$

3. Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+405=0$$. По теореме Виета:

   $$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=405$$

   По условию:

   $$(x_1-x_2)^2=144$$

   Используем формулу:

   $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$

   Тогда

   $$(-p)^2-4\cdot405=144$$

   $$p^2-1620=144$$

   $$p^2=1764$$

   $$p=\pm42$$

Ответ

а) $$x=\frac14$$; б) $$x=4$$; в) $$p=\pm42$$.