Упр.683 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все целые решения уравнения: а) $$xy=2$$; б) $$x^2-y^2=3$$.
Выразите через $$p$$ и $$q$$ сумму квадратов корней уравнения $$x^2+px+q=0$$.

Подробный ответ

а) $$xy=2$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то возможны только делители числа $$2$$:

$$x=1,\ y=2;$$
$$x=2,\ y=1;$$
$$x=-1,\ y=-2;$$
$$x=-2,\ y=-1.$$

Следовательно, целые решения:

$$(-1;\,-2),\ (-2;\,-1),\ (1;\,2),\ (2;\,1).$$

б) $$x^2-y^2=3$$

Разложим на множители:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=3.$$

Так как $$x-y$$ и $$x+y$$ — целые числа, их произведение равно $$3$$. Значит, возможны пары:

$$x-y=1,\ x+y=3;$$
$$x-y=3,\ x+y=1;$$
$$x-y=-1,\ x+y=-3;$$
$$x-y=-3,\ x+y=-1.$$

Решим каждую систему:

$$\begin{aligned} x-y=1\\ x+y=3 \end{aligned} \Rightarrow 2x=4,\ x=2,\ y=1;$$
$$\begin{aligned} x-y=3\\ x+y=1 \end{aligned} \Rightarrow 2x=4,\ x=2,\ y=-1;$$
$$\begin{aligned} x-y=-1\\ x+y=-3 \end{aligned} \Rightarrow 2x=-4,\ x=-2,\ y=-1;$$
$$\begin{aligned} x-y=-3\\ x+y=-1 \end{aligned} \Rightarrow 2x=-4,\ x=-2,\ y=1.$$

Следовательно, целые решения:

$$(-2;\,-1),\ (-2;\,1),\ (2;\,1),\ (2;\,-1).$$

в) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

Ищем сумму квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-p)^2-2q=p^2-2q.$$