Упр.681 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график уравнения:
   а) $$y-x^2=0$$;
   в) $$0{,}5xy+1{,}5=0$$;
   б) $$y-x^3=0$$;
   г) $$y+x^3=0$$.
2. Один из корней уравнения $$4x^2+bx+c=0$$ равен $$0{,}5$$, а другой — свободному члену. Найдите $$b$$ и $$c$$.

а) $$y-x^2=0 \iff y=x^2.$$

Получаем параболу с вершиной в точке $$\left(0;0\right)$$. Для построения возьмём несколько значений:

$$\begin{array}{c|ccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \end{array}$$

б) $$y-x^3=0 \iff y=x^3.$$

Для построения возьмём точки:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \end{array}$$

в) $$0{,}5xy+1{,}5=0 \iff 0{,}5xy=-1{,}5 \iff y=-\frac{3}{x}, \quad x\ne 0.$$

Это гипербола. Для построения можно взять точки:

$$\begin{array}{c|cccccccc} x & -6 & -3 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 3 & 6 \\ \hline y & 0{,}5 & 1 & 3 & 6 & -6 & -3 & -1 & -0{,}5 \end{array}$$

г) $$y+x^3=0 \iff y=-x^3.$$

Для построения возьмём точки:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 8 & 1 & 0 & -1 & -8 \end{array}$$

Теперь найдём $$b$$ и $$c$$. По условию один корень уравнения $$4x^2+bx+c=0$$ равен $$0{,}5$$, а другой — свободному члену, то есть $$c$$.

По теореме Виета:

$$\begin{cases} x_1+x_2=-\dfrac{b}{4},\\ x_1x_2=\dfrac{c}{4}. \end{cases}$$

Подставим $$x_1=0{,}5$$, $$x_2=c$$:

$$\begin{cases} 0{,}5+c=-\dfrac{b}{4},\\ 0{,}5c=\dfrac{c}{4}. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$0{,}5c=\dfrac{c}{4} \iff 2c=c \iff c=0.$$

Тогда из первого:

$$0{,}5=-\dfrac{b}{4} \iff b=-2.$$

Ответ

а) $$y=x^2$$; б) $$y=x^3$$; в) $$y=-\dfrac{3}{x}, \ x\ne 0$$; г) $$y=-x^3$$; $$b=-2,\ c=0.$$