Упр.680 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 29. Разность квадратов корней уравнения 2×2 — 5х + с = 0 равна 0,25. Найдите с.

Обозначим корни уравнения $$2x^2-5x+c=0$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{5}{2}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{2}.$$

По условию разность квадратов корней равна $$0{,}25$$, то есть

$$x_1^2-x_2^2=0{,}25.$$

Разложим разность квадратов на множители:

$$\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0{,}25.$$

Подставим $$x_1+x_2=\frac{5}{2}$$:

$$\left(x_1-x_2\right)\cdot \frac{5}{2}=0{,}25,$$

откуда

$$x_1-x_2=0{,}1.$$

Теперь найдём корни системы:

$$ \begin{cases} x_1+x_2=\frac{5}{2},\\ x_1-x_2=0{,}1. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2x_1=2{,}6,\qquad x_1=1{,}3.$$

Тогда

$$x_2=\frac{5}{2}-1{,}3=1{,}2.$$

Найдём $$c$$:

$$\frac{c}{2}=x_1x_2=1{,}3\cdot 1{,}2=1{,}56,$$

значит

$$c=3{,}12.$$

Ответ

$$c=3{,}12.$$