Упр.678 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

На рис. 27 изображён график одного из следующих линейных уравнений: $$x-y=-7$$, $$x-y=4$$, $$2x+y=6$$, $$x+y=5$$. Укажите это уравнение.
Частное корней уравнения $$4x^2+bx-27=0$$ равно $$-3$$. Найдите $$b$$.

Подробный ответ

1) График на рисунке — убывающая прямая, проходящая через точку $$(0;6)$$. Проверим варианты:

$$x-y=-7 \iff y=x+7$$ — возрастающая прямая, не подходит;
$$x-y=4 \iff y=x-4$$ — возрастающая прямая, не подходит;
$$2x+y=6 \iff y=-2x+6$$ — убывающая прямая, проходит через точку $$(0;6)$$, подходит;
$$x+y=5 \iff y=-x+5$$ — убывающая прямая, но проходит через точку $$(0;5)$$, не подходит.

Значит, искомое уравнение: $$2x+y=6$$.

2) Пусть корни уравнения $$4x^2+bx-27=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{4}, \qquad x_1x_2=-\frac{27}{4}.$$

По условию $$\frac{x_1}{x_2}=-3$$, значит $$x_1=-3x_2$$. Подставим в произведение корней:

$$(-3x_2)\cdot x_2=-\frac{27}{4}$$
$$-3x_2^2=-\frac{27}{4}$$
$$x_2^2=\frac{9}{4}$$
$$x_2=\pm \frac{3}{2}.$$

Теперь найдём сумму корней:

$$x_1+x_2=-3x_2+x_2=-2x_2=-\frac{b}{4}.$$

Если $$x_2=\frac{3}{2}$$, то $$x_1=-\frac{9}{2}$$ и

$$-\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=-3=-\frac{b}{4} \Rightarrow b=12.$$

Если $$x_2=-\frac{3}{2}$$, то $$x_1=\frac{9}{2}$$ и

$$\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3=-\frac{b}{4} \Rightarrow b=-12.$$