Упр.676 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Разность корней уравнения 3×2 + bх + 10 = 0 равна 4*1/3. Найдите b.

1) Преобразуем уравнение:

$$x^2-y^2=0$$

$$ (x-y)(x+y)=0 $$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x-y=0 \quad \text{или} \quad x+y=0$$

Отсюда получаем:

$$y=x \quad \text{или} \quad y=-x$$

Значит, графиком уравнения является пара прямых $$y=x$$ и $$y=-x$$.

2) Найдём $$b$$ для уравнения $$3x^2+bx+10=0$$, если разность корней равна $$4\frac{1}{3}$$.

Разделим уравнение на $$3$$:

$$x^2+\frac{b}{3}x+\frac{10}{3}=0$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{3}, \qquad x_1x_2=\frac{10}{3}$$

Так как $$x_1-x_2=4\frac{1}{3}=\frac{13}{3}$$, то

$$x_1=x_2+\frac{13}{3}$$

Подставим в формулу для произведения:

$$\left(x_2+\frac{13}{3}\right)x_2=\frac{10}{3}$$

$$3x_2^2+13x_2-10=0$$

$$D=13^2-4\cdot 3\cdot(-10)=169+120=289$$

$$\sqrt{D}=17$$

Тогда

$$x_2=\frac{-13\pm 17}{6}$$

Получаем два варианта:

$$x_2=\frac{2}{3}, \quad x_1=5$$

или

$$x_2=-5, \quad x_1=-\frac{2}{3}$$

Теперь найдём $$b$$ из суммы корней:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{3}$$

В первом случае:

$$5+\frac{2}{3}=\frac{17}{3}=-\frac{b}{3} \Rightarrow b=-17$$

Во втором случае:

$$-5-\frac{2}{3}=-\frac{17}{3}=-\frac{b}{3} \Rightarrow b=17$$

Ответ

$$b=\pm 17$$