Упр.675 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 3х + 0у = 12; д) (х — 2)(у — 3) = 0;
б) 0х + у = 1; е) (х + 3)(у + 1) = 0;
в) х = 5; ж) |х| = 2;
г) у = 1,5; з) |у| = 3. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 равна нулю, то один из корней уравнения равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:
а) 2×2 — 41x + 39 = 0;
б) 17×2 + 243x — 260 = 0.

а) $$3x+0y=12 \iff 3x=12 \iff x=4.$$

График — прямая, параллельная оси $$y$$ и проходящая через точку $$4$$ на оси $$x$$.

б) $$0x+y=1 \iff y=1.$$

График — прямая, параллельная оси $$x$$ и проходящая через точку $$1$$ на оси $$y$$.

в) $$x=5.$$

График — прямая, параллельная оси $$y$$ и проходящая через точку $$5$$ на оси $$x$$.

г) $$y=1{,}5.$$

График — прямая, параллельная оси $$x$$ и проходящая через точку $$1{,}5$$ на оси $$y$$.

д) $$\left(x-2\right)\left(y-3\right)=0 \iff x-2=0 \text{ или } y-3=0,$$

то есть $$x=2$$ или $$y=3.$$ График состоит из двух прямых: $$x=2$$ и $$y=3.$$

е) $$\left(x+3\right)\left(y+1\right)=0 \iff x+3=0 \text{ или } y+1=0,$$

то есть $$x=-3$$ или $$y=-1.$$ График состоит из двух прямых: $$x=-3$$ и $$y=-1.$$

ж) $$|x|=2 \iff x=\pm 2.$$

График состоит из двух прямых: $$x=-2$$ и $$x=2.$$

з) $$|y|=3 \iff y=\pm 3.$$

График состоит из двух прямых: $$y=-3$$ и $$y=3.$$

Докажем свойство. Пусть $$ax^2+bx+c=0$$ и $$a+b+c=0.$$ Тогда $$b=-(a+c).$$

Дискриминант:

$$ D=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=a^2-2ac+c^2=(a-c)^2. $$

Корни уравнения:

$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} =\frac{a+c\pm(a-c)}{2a}. $$

Тогда

$$ x_1=\frac{a+c+a-c}{2a}=\frac{2a}{2a}=1,\qquad x_2=\frac{a+c-a+c}{2a}=\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}. $$

Значит, если $$a+b+c=0,$$ то один из корней равен $$1.$$

Теперь решим уравнения.

а) $$2x^2-41x+39=0.$$

Проверим сумму коэффициентов:

$$2-41+39=0.$$

Значит, один корень равен $$1.$$ Тогда второй корень:

$$ x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{39}{2}, \qquad x_2=\frac{39}{2}. $$

Следовательно, $$x=1$$ или $$x=\frac{39}{2}.$$

б) $$17x^2+243x-260=0.$$

Проверим сумму коэффициентов:

$$17+243-260=0.$$

Значит, один корень равен $$1.$$ Тогда второй корень:

$$ x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-260}{17}, \qquad x_2=-\frac{260}{17}. $$

Следовательно, $$x=1$$ или $$x=-\frac{260}{17}.$$

Ответ

а) $$x=4$$; б) $$y=1$$; в) $$x=5$$; г) $$y=1{,}5$$; д) $$x=2$$ или $$y=3$$; е) $$x=-3$$ или $$y=-1$$; ж) $$x=\pm 2$$; з) $$y=\pm 3$$; доказано; а) $$x=1,\ \frac{39}{2}$$; б) $$x=1,\ -\frac{260}{17}$$.