Упр.674 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Графики линейных уравнений 2х — у = 4, х — у = -2, у + 4 = 0, х — 6 = 0 изображены на рисунке 26. Для каждой из прямых, изображённых на этом рисунке, укажите её уравнение. Докажите, что уравнение 12×2 + 70x + а2 + 1 = 0 при любых значениях а не имеет положительных корней.

1) Преобразуем уравнения прямых к виду $$y=kx+b$$ или к виду, удобному для построения:

$$2x-y=4 \;\Longleftrightarrow\; y=2x-4$$

Это возрастающая прямая, пересекает ось $$y$$ в точке $$\left(0;-4\right)$$, значит, это прямая b.

$$x-y=-2 \;\Longleftrightarrow\; y=x+2$$

Это возрастающая прямая, пересекает ось $$y$$ в точке $$\left(0;2\right)$$, значит, это прямая a.

$$y+4=0 \;\Longleftrightarrow\; y=-4$$

Это прямая, параллельная оси $$x$$, значит, это прямая d.

$$x-6=0 \;\Longleftrightarrow\; x=6$$

Это прямая, параллельная оси $$y$$, значит, это прямая c.

2) Докажем, что уравнение $$12x^2+70x+a^2+1=0$$ при любых значениях $$a$$ не имеет положительных корней.

Рассмотрим его как квадратное уравнение относительно $$x$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{70}{12}<0,$$
$$x_1x_2=\frac{a^2+1}{12}>0.$$

Если произведение корней положительно, то корни одного знака. Так как их сумма отрицательна, оба корня отрицательны. Следовательно, положительных корней уравнение не имеет.

Ответ

$$a:\; x-y=-2,\qquad b:\; 2x-y=4,\qquad c:\; x-6=0,\qquad d:\; y+4=0.$$

Уравнение $$12x^2+70x+a^2+1=0$$ при любых $$a$$ не имеет положительных корней.