Упр.673 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Определите степень уравнения:
а) $$x+4xy=5$$;
в) $$8x^6-y^2=2x^4(4x^2-y)$$;
б) $$x^5+8x^3y^3=1$$;
г) $$(x-2y)^2-x^2=4y(y-x)+5x$$. - Докажите, что уравнение $$7x^2+bx-23=0$$ при любых значениях $$b$$ имеет один положительный и один отрицательный корень.
а) Приведём уравнение к виду многочлена:
$$x+4xy-5=0.$$
Наибольшая степень одночлена $$4xy$$ равна $$2$$, значит, это уравнение второй степени.
б) Перенесём всё в одну сторону:
$$x^5+8x^3y^3-1=0.$$
Наибольшая степень одночлена $$8x^3y^3$$ равна $$6$$, значит, это уравнение шестой степени.
в) Преобразуем правую часть:
$$8x^6-y^2=2x^4(4x^2-y)=8x^6-2x^4y.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$8x^6-y^2-8x^6+2x^4y=0,$$
$$2x^4y-y^2=0.$$
Наибольшая степень одночлена $$2x^4y$$ равна $$5$$, значит, это уравнение пятой степени.
г) Раскроем скобки:
$$\left(x-2y\right)^2-x^2=4y(y-x)+5x,$$
$$x^2-4xy+4y^2-x^2=4y^2-4xy+5x.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$4y^2-4xy+4xy-4y^2-5x=0,$$
$$-5x=0.$$
Наибольшая степень одночлена $$5x$$ равна $$1$$, значит, это уравнение первой степени.
Докажем, что уравнение $$7x^2+bx-23=0$$ при любых значениях $$b$$ имеет один положительный и один отрицательный корень.
По теореме Виета для корней $$x_1$$ и $$x_2$$ имеем:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{7}, \qquad x_1x_2=-\frac{23}{7}.$$
Так как
$$x_1x_2=-\frac{23}{7}<0,$$
то корни имеют разные знаки. Следовательно, один корень положительный, а другой отрицательный.
Ответ
а) второй степени; б) шестой степени; в) пятой степени; г) первой степени. Уравнение $$7x^2+bx-23=0$$ при любых $$b$$ имеет один положительный и один отрицательный корень.
