Упр.673 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) х + 4ху = 5; в) 8х^6 — у^2 = 2х^4 (4х^2 — у);
б) х^5 + 8х^3 у^3 = 1; г) (х — 2у)^2 — х^2 = 4у(у — х) + 5х. Докажите, что уравнение 7х2 + bх — 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корень.

а) Приведём уравнение к виду многочлена:

$$x+4xy-5=0.$$

Наибольшая степень одночлена $$4xy$$ равна $$2$$, значит, это уравнение второй степени.

б) Перенесём всё в одну сторону:

$$x^5+8x^3y^3-1=0.$$

Наибольшая степень одночлена $$8x^3y^3$$ равна $$6$$, значит, это уравнение шестой степени.

в) Преобразуем правую часть:

$$8x^6-y^2=2x^4(4x^2-y)=8x^6-2x^4y.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$8x^6-y^2-8x^6+2x^4y=0,$$

$$2x^4y-y^2=0.$$

Наибольшая степень одночлена $$2x^4y$$ равна $$5$$, значит, это уравнение пятой степени.

г) Раскроем скобки:

$$\left(x-2y\right)^2-x^2=4y(y-x)+5x,$$

$$x^2-4xy+4y^2-x^2=4y^2-4xy+5x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4y^2-4xy+4xy-4y^2-5x=0,$$

$$-5x=0.$$

Наибольшая степень одночлена $$5x$$ равна $$1$$, значит, это уравнение первой степени.

Докажем, что уравнение $$7x^2+bx-23=0$$ при любых значениях $$b$$ имеет один положительный и один отрицательный корень.

По теореме Виета для корней $$x_1$$ и $$x_2$$ имеем:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{7}, \qquad x_1x_2=-\frac{23}{7}.$$

Так как

$$x_1x_2=-\frac{23}{7}<0,$$

то корни имеют разные знаки. Следовательно, один корень положительный, а другой отрицательный.

Ответ

а) второй степени; б) шестой степени; в) пятой степени; г) первой степени. Уравнение $$7x^2+bx-23=0$$ при любых $$b$$ имеет один положительный и один отрицательный корень.