Упр.672 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) х — 2у = 8; в) х — ху = 12;
б) х + 0y = 10; г) (х + у)(у — 2) = 0.
Найдите b и решите уравнение:
а) 2х2 + bх — 10 = 0, если оно имеет корень 5;
б) 3х2 + bх + 24 = 0, если оно имеет корень 3;
в) (b — 1)х2 — (b + 1)х = 72, если оно имеет корень 3;
г) (b — 5)х2 — (b — 2)х + b = 0, если оно имеет корень 1/2.
а) Из уравнения $$x-2y=8$$ выразим $$x$$:
$$x=8+2y.$$
Возьмём, например, $$y=0,\,1,\,5$$. Тогда:
$$x=8,\quad x=10,\quad x=18.$$
Получаем три решения: $$ (8;0),\ (10;1),\ (18;5). $$
б) Из уравнения $$x+0y=10$$ следует:
$$x=10.$$
При любых значениях $$y$$ получаем решения. Возьмём, например, $$y=0,\,5,\,10$$:
$$ (10;0),\ (10;5),\ (10;10). $$
в) Преобразуем уравнение:
$$x-xy=12 \Rightarrow x(1-y)=12 \Rightarrow x=\frac{12}{1-y}, \quad y\ne 1.$$
Возьмём, например, $$y=0,\,-1,\,4$$. Тогда:
$$x=12,\quad x=6,\quad x=-4.$$
Три решения: $$ (12;0),\ (6;-1),\ (-4;4). $$
г) Имеем:
$$ (x+y)(y-2)=0.$$
Значит, либо $$x+y=0$$, либо $$y-2=0$$.
Если $$x+y=0$$, то $$y=-x$$. Возьмём, например, $$x=0$$ и $$x=7$$:
$$ (0;0),\ (7;-7). $$
Если $$y=2$$, возьмём, например, $$x=-2$$:
$$ (-2;2). $$
а) Подставим корень $$x=5$$ в уравнение $$2x^2+bx-10=0$$:
$$2\cdot 5^2+5b-10=0$$
$$50+5b-10=0$$
$$5b+40=0$$
$$b=-8.$$
Тогда уравнение:
$$2x^2-8x-10=0.$$
Разделим на $$2$$:
$$x^2-4x-5=0$$
$$ (x-5)(x+1)=0.$$
Отсюда $$x=5$$ или $$x=-1$$.
б) Подставим корень $$x=3$$ в уравнение $$3x^2+bx+24=0$$:
$$3\cdot 3^2+3b+24=0$$
$$27+3b+24=0$$
$$3b+51=0$$
$$b=-17.$$
Тогда:
$$3x^2-17x+24=0.$$
Проверим разложение на множители:
$$3x^2-17x+24=(3x-8)(x-3).$$
Следовательно, $$x=3$$ или $$x=\frac{8}{3}.$$
в) Подставим корень $$x=3$$ в уравнение $$ (b-1)x^2-(b+1)x=72 $$:
$$9(b-1)-3(b+1)=72$$
$$9b-9-3b-3=72$$
$$6b-12=72$$
$$6b=84$$
$$b=14.$$
Тогда уравнение:
$$13x^2-15x=72$$
$$13x^2-15x-72=0.$$
Так как один корень $$x_1=3$$, найдём второй по формуле Виета:
$$x_1x_2=\frac{-72}{13}.$$
Тогда
$$3x_2=\frac{-72}{13}, \quad x_2=-\frac{24}{13}.$$
г) Подставим корень $$x=\frac12$$ в уравнение $$ (b-5)x^2-(b-2)x+b=0 $$:
$$ (b-5)\cdot \frac14-(b-2)\cdot \frac12+b=0.$$
Умножим на $$4$$:
$$b-5-2(b-2)+4b=0$$
$$b-5-2b+4+4b=0$$
$$3b-1=0$$
$$b=\frac13.$$
Тогда уравнение:
$$\left(\frac13-5\right)x^2-\left(\frac13-2\right)x+\frac13=0.$$
Умножим на $$3$$:
$$-14x^2+5x+1=0$$
$$14x^2-5x-1=0.$$
Разложим на множители:
$$14x^2-5x-1=(7x+1)(2x-1).$$
Отсюда $$x=\frac12$$ или $$x=-\frac17$$.
Ответ
1) а) $$ (8;0),\ (10;1),\ (18;5) $$; б) $$ (10;0),\ (10;5),\ (10;10) $$; в) $$ (12;0),\ (6;-1),\ (-4;4) $$; г) $$ (0;0),\ (7;-7),\ (-2;2) $$.
2) а) $$b=-8$$, корни: $$x=5,\,-1$$; б) $$b=-17$$, корни: $$x=3,\ \frac83$$; в) $$b=14$$, корни: $$x=3,\ -\frac{24}{13}$$; г) $$b=\frac13$$, корни: $$x=\frac12,\ -\frac17$$.
