Упр.671 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Является ли пара чисел $$(-1; 3)$$ решением уравнения:
   а) $$x^2-y+2=0$$;
   в) $$x^2+y^2=10$$;
   б) $$xy+y=6$$;
   г) $$x^2-y^2+8=0$$?
2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
   а) $$x^2-5\sqrt{2}x+12=0$$;
   б) $$x^2+2\sqrt{3}x-72=0$$;
   в) $$y^2-6y+7=0$$;
   г) $$p^2-10p+7=0$$.

Проверим подстановкой пару чисел $$(-1; 3)$$.

1. $$x^2-y+2=0$$

   $$(-1)^2-3+2=1-3+2=0$$

   Равенство верно, значит, пара $$(-1; 3)$$ является решением.

2. $$xy+y=6$$

   $$(-1)\cdot 3+3=-3+3=0$$

   Равенство неверно, значит, пара $$(-1; 3)$$ не является решением.

3. $$x^2+y^2=10$$

   $$(-1)^2+3^2=1+9=10$$

   Равенство верно, значит, пара $$(-1; 3)$$ является решением.

4. $$x^2-y^2+8=0$$

   $$(-1)^2-3^2+8=1-9+8=0$$

   Равенство верно, значит, пара $$(-1; 3)$$ является решением.

Решим уравнения и проверим ответ по теореме Виета.

1. $$x^2-5\sqrt{2}\,x+12=0$$

   $$D=(5\sqrt{2})^2-4\cdot 12=50-48=2$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\sqrt{2}\pm \sqrt{2}}{2}$$

   $$x_1=2\sqrt{2}, \quad x_2=3\sqrt{2}$$

   Проверка:

   $$x_1+x_2=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$

   $$x_1x_2=2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=12$$

2. $$x^2+2\sqrt{3}\,x-72=0$$

   $$D=(2\sqrt{3})^2-4\cdot 1\cdot (-72)=12+288=300=100\cdot 3$$

   $$\sqrt{D}=10\sqrt{3}$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\sqrt{3}\pm 10\sqrt{3}}{2}$$

   $$x_1=-6\sqrt{3}, \quad x_2=4\sqrt{3}$$

   Проверка:

   $$x_1+x_2=-6\sqrt{3}+4\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$$

   $$x_1x_2=(-6\sqrt{3})\cdot 4\sqrt{3}=-72$$

3. $$y^2-6y+7=0$$

   $$D=6^2-4\cdot 7=36-28=8$$

   $$\sqrt{D}=2\sqrt{2}$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}$$

   $$y_1=3-\sqrt{2}, \quad y_2=3+\sqrt{2}$$

   Проверка:

   $$y_1+y_2=(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})=6$$

   $$y_1y_2=(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=9-2=7$$

4. $$p^2-10p+7=0$$

   $$D=10^2-4\cdot 7=100-28=72$$

   $$\sqrt{D}=6\sqrt{2}$$

   $$p_{1,2}=\frac{10\pm 6\sqrt{2}}{2}$$

   $$p_1=5-3\sqrt{2}, \quad p_2=5+3\sqrt{2}$$

   Проверка:

   $$p_1+p_2=(5-3\sqrt{2})+(5+3\sqrt{2})=10$$

   $$p_1p_2=(5-3\sqrt{2})(5+3\sqrt{2})=25-18=7$$

Ответ

Пара $$(-1; 3)$$ является решением уравнений а), в), г) и не является решением уравнения б).
Корни уравнений:
а) $$x_1=2\sqrt{2},\ x_2=3\sqrt{2}$$;
б) $$x_1=-6\sqrt{3},\ x_2=4\sqrt{3}$$;
в) $$y_1=3-\sqrt{2},\ y_2=3+\sqrt{2}$$;
г) $$p_1=5-3\sqrt{2},\ p_2=5+3\sqrt{2}$$.