Упр.670 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Составьте квадратное уравнение, зная его корни: Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найдите эти числа.

Пусть два последовательных нечётных натуральных числа равны $$2n+1$$ и $$2n+3$$.

По условию:

$$ (2n+3)^3-(2n+1)^3=866 $$

Используем формулу разности кубов:

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$

Тогда

$$ (2n+3-2n-1)\big((2n+3)^2+(2n+3)(2n+1)+(2n+1)^2\big)=866 $$

$$ 2\big((4n^2+12n+9)+(4n^2+8n+3)+(4n^2+4n+1)\big)=866 $$

$$ 2(12n^2+24n+13)=866 $$

$$ 12n^2+24n+13=433 $$

$$ 12n^2+24n-420=0 $$

$$ n^2+2n-35=0 $$

$$ (n+7)(n-5)=0 $$

Отсюда $$n=-7$$ или $$n=5$$. Так как числа натуральные, подходит только $$n=5$$.

Тогда

$$ 2n+1=2\cdot 5+1=11,\qquad 2n+3=2\cdot 5+3=13 $$

Ответ

$$11,\ 13$$