Упр.669 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Найдите значение $$q$$, при котором разность корней уравнения $$x^2 — 10x + q = 0$$ равна 6.
2. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найдите эти числа.

1) Пусть корни уравнения $$x^2-10x+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$, причём $$x_1-x_2=6$$.

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=10,\quad x_1x_2=q.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x_1-x_2=6,\\ x_1+x_2=10. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$2x_1=16,\quad x_1=8.$$

Тогда

$$x_2=10-8=2.$$

Следовательно,

$$q=x_1x_2=8\cdot 2=16.$$

2) Пусть два последовательных натуральных числа — это $$n$$ и $$n+1$$.

По условию:

$$(n+1)^3-n^3=919.$$

Раскроем скобки:

$$n^3+3n^2+3n+1-n^3=919$$

$$3n^2+3n-918=0$$

$$n^2+n-306=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 306=1225=35^2$$

$$n=\frac{-1\pm 35}{2}$$

Получаем:

$$n_1=-18,\quad n_2=17.$$

Так как числа натуральные, подходит $$n=17$$. Тогда второе число равно $$17+1=18$$.

Ответ

$$q=16; \quad 17 \text{ и } 18.$$