Упр.662 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Сплав золота и серебра содержал $$40\ \text{г}$$ золота. После того как к нему добавили $$50\ \text{г}$$ золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на $$20\%$$. Сколько серебра было в сплаве?
2. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на $$112$$. Найдите эти числа.

Пусть в сплаве было $$x$$ г серебра. Тогда масса сплава сначала равна $$x+40$$ г, а после добавления $$50$$ г золота — $$x+90$$ г.

Доля золота в новом сплаве увеличилась на $$20\% = 0{,}2$$, значит:

$$\frac{40}{x+40}+\;0{,}2=\frac{90}{x+90}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{40}{x+40}-\frac{90}{x+90}+0{,}2=0$$

Умножим на $$5(x+40)(x+90)$$:

$$200(x+90)-450(x+40)+(x+40)(x+90)=0$$

Раскроем скобки:

$$200x+18000-450x-18000+x^2+130x+3600=0$$

$$x^2-120x+3600=0$$

$$D=(-120)^2-4\cdot 1\cdot 3600=14400-14400=0$$

$$x=\frac{120}{2}=60$$

Значит, в сплаве было $$60$$ г серебра.

Теперь решим вторую задачу. Пусть два последовательных натуральных числа — это $$n$$ и $$n+1$$. Тогда:

$$(n+(n+1))^2-\bigl(n^2+(n+1)^2\bigr)=112$$

$$(2n+1)^2-\bigl(n^2+n^2+2n+1\bigr)=112$$

$$4n^2+4n+1-2n^2-2n-1=112$$

$$2n^2+2n-112=0$$

$$n^2+n-56=0$$

$$D=1+224=225$$

$$n=\frac{-1\pm 15}{2}$$

Получаем $$n=7$$ или $$n=-8$$. Натуральному числу соответствует только $$n=7$$.

Следовательно, числа: $$7$$ и $$8$$.

Ответ

$$60$$ г; $$7$$ и $$8$$.