Упр.661 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли. Найдите три последовательных чётных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

1) Пусть первоначальная масса раствора равна $$x$$ г. Тогда масса соли в нём составляет $$30$$ г, а концентрация соли была равна $$\frac{30}{x}$$.

После добавления $$100$$ г воды масса раствора стала $$x+100$$ г, а концентрация — $$\frac{30}{x+100}$$.

По условию концентрация понизилась на $$1\% = 0{,}01$$, значит:

$$ \frac{30}{x}=\frac{30}{x+100}+0{,}01 $$

Решим уравнение:

$$ \frac{30}{x}-\frac{30}{x+100}=0{,}01 $$

$$ \frac{30(x+100)-30x}{x(x+100)}=0{,}01 $$

$$ \frac{3000}{x(x+100)}=0{,}01 $$

$$ 3000=0{,}01x(x+100) $$

$$ 300000=x(x+100) $$

$$ x^2+100x-300000=0 $$

Найдём корни:

$$ D=100^2+4\cdot 300000=1210000 $$

$$ \sqrt{D}=1100 $$

$$ x=\frac{-100\pm 1100}{2} $$

$$ x_1=500,\quad x_2=-600 $$

Отрицательный корень не подходит, значит первоначальная масса раствора равна $$500$$ г.

2) Пусть три последовательных чётных числа: $$2n$$, $$2n+2$$, $$2n+4$$.

По условию:

$$ (2n)^2+(2n+2)^2=(2n+4)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ 4n^2+4n^2+8n+4=4n^2+16n+16 $$

$$ 4n^2-8n-12=0 $$

$$ n^2-2n-3=0 $$

$$ (n-3)(n+1)=0 $$

Отсюда $$n=3$$ или $$n=-1$$.

Если $$n=3$$, то числа: $$6$$, $$8$$, $$10$$.

Если $$n=-1$$, то числа: $$-2$$, $$0$$, $$2$$.

Ответ

$$500$$ г; $$6,\,8,\,10$$ или $$-2,\,0,\,2$$.