Упр.660 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов трёх первых чисел равна сумме квадратов двух последних.

1) Пусть v км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна $$20+v$$ км/ч, а против течения — $$20-v$$ км/ч.

По условию на весь путь затрачено 3 ч, значит:

$$\frac{36}{20-v}+\frac{22}{20+v}=3$$

Умножим на $$\left(20-v\right)\left(20+v\right)$$:

$$36(20+v)+22(20-v)=3(400-v^2)$$

$$720+36v+440-22v=1200-3v^2$$

$$3v^2+14v-40=0$$

Найдём корни:

$$D=14^2-4\cdot 3\cdot(-40)=196+480=676$$

$$v=\frac{-14\pm 26}{6}$$

$$v_1=2,\quad v_2=-\frac{20}{3}$$

Отрицательный корень не подходит, значит скорость течения реки равна $$2$$ км/ч.

2) Пусть пять последовательных целых чисел: $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4$$.

По условию:

$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2$$

Раскроем скобки:

$$n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=n^2+6n+9+n^2+8n+16$$

$$3n^2+6n+5=2n^2+14n+25$$

$$n^2-8n-20=0$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-20)=64+80=144$$

$$n=\frac{8\pm 12}{2}$$

$$n_1=10,\quad n_2=-2$$

Тогда получаем два набора чисел:

$$-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$

или

$$10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14$$

Ответ

1) $$2$$ км/ч. 2) $$-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$$ или $$10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14$$.