Упр.66 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Упростите выражение: Пользуясь тождеством (a+b)/c=a/c+b/c, представьте дробь в виде суммы дробей:

1. а) Преобразуем вторую дробь, учитывая, что $$5-x=-(x-5)$$, значит

   $$\frac{25}{(5-x)^2}=\frac{25}{(x-5)^2}.$$

   Тогда

   $$ \frac{x^2}{(x-5)^2}-\frac{25}{(5-x)^2} = \frac{x^2}{(x-5)^2}-\frac{25}{(x-5)^2} = \frac{x^2-25}{(x-5)^2}. $$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2-25=(x-5)(x+5).$$

   Сокращаем:

   $$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}=\frac{x+5}{x-5}.$$

2. б) Так как $$5-x=-(x-5)$$, то

   $$\frac{10x}{(5-x)^3}=-\frac{10x}{(x-5)^3}.$$

   Тогда

   $$ \frac{x^2+25}{(x-5)^3}+\frac{10x}{(5-x)^3} = \frac{x^2+25}{(x-5)^3}-\frac{10x}{(x-5)^3} = \frac{x^2-10x+25}{(x-5)^3}. $$

   Числитель — квадрат двучлена:

   $$x^2-10x+25=(x-5)^2.$$

   Сокращаем:

   $$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^3}=\frac{1}{x-5}.$$

Ответ

а) $$\frac{x+5}{x-5}$$; б) $$\frac{1}{x-5}$$.