Упр.652 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) a2+4a+11;
б)
в) m2-4m+61;
г)
д) 2b2-8b+20;
е)

Подробный ответ

Пусть $$x$$ км/ч — скорость поезда по расписанию. Тогда после увеличения скорость стала $$x+10$$ км/ч.
Время на перегоне длиной $$720$$ км:
по расписанию — $$\frac{720}{x}$$, после увеличения скорости — $$\frac{720}{x+10}$$.
По условию поезд ликвидировал опоздание на 1 час, значит:
$$\frac{720}{x}-\frac{720}{x+10}=1$$
Умножим на $$x(x+10)$$:
$$720(x+10)-720x=x(x+10)$$
$$7200=x^2+10x$$
$$x^2+10x-7200=0$$
Найдём корни:
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-7200)=100+28800=28900=170^2$$
$$x=\frac{-10\pm 170}{2}$$
$$x_1=-90,\quad x_2=80$$
Так как скорость не может быть отрицательной, подходит только $$x=80$$.
Докажем, что выражение положительно при любом значении переменной.
а) $$a^2+4a+11=(a+2)^2+7$$
Так как $$\,(a+2)^2\ge 0$$ и $$7>0$$, то $$a^2+4a+11>0$$.
б) $$x^2-2x+7=(x-1)^2+6$$
Так как $$\,(x-1)^2\ge 0$$ и $$6>0$$, то $$x^2-2x+7>0$$.
в) $$m^2-4m+51=(m-2)^2+47$$
Так как $$\,(m-2)^2\ge 0$$ и $$47>0$$, то $$m^2-4m+51>0$$.
г) $$\frac{p^2-6p+18}{p^2+1}=\frac{(p-3)^2+9}{p^2+1}$$
Числитель положителен, так как $$\,(p-3)^2\ge 0$$ и $$9>0$$. Знаменатель тоже положителен, так как $$p^2+1>0$$. Значит, дробь положительна при любом $$p$$.
д) $$2b^2-8b+20=2(b^2-4b+10)=2\bigl((b-2)^2+6\bigr)$$
Так как $$\,(b-2)^2\ge 0$$ и $$6>0$$, то $$2b^2-8b+20>0$$.
е) $$\frac{2c^2+3}{c^2+12c+40}=\frac{2c^2+3}{(c+6)^2+4}$$
Числитель положителен, так как $$2c^2+3>0$$. Знаменатель тоже положителен, так как $$\,(c+6)^2\ge 0$$ и $$4>0$$. Следовательно, дробь положительна при любом $$c$$.