Упр.648 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на $$\frac{1}{2}$$. Найдите эту дробь.
2. Решите уравнение с параметром $$k$$: $$x^2-(4k+1)x+2(2k^2+k-3)=0$$.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+3$$.

По условию, если к числителю прибавить 7, а к знаменателю — 5, то дробь увеличится на $$\frac12$$. Составим уравнение:

$$\frac{x+7}{x+8}=\frac{x}{x+3}+\frac12$$

ОДЗ: $$x\neq -8,\; x\neq -3.$$

Умножим уравнение на $$2(x+8)(x+3)$$:

$$2(x+3)(x+7)-2x(x+8)-(x+8)(x+3)=0$$

Раскроем скобки:

$$2x^2+20x+42-2x^2-16x-x^2-11x-24=0$$

$$x^2+7x-18=0$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-18)=49+72=121$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{2}$$

$$x_1=2,\qquad x_2=-9$$

Проверим:

при $$x=2$$ получаем дробь $$\frac{2}{5}$$;

при $$x=-9$$ получаем дробь $$\frac{-9}{-6}=\frac32$$, но это не подходит, так как дробь должна увеличиться на $$\frac12$$ от исходной.

Значит, искомая дробь:

$$\frac{2}{5}$$

Теперь решим уравнение с параметром:

$$x^2-(4k+1)x+2(2k^2+k-3)=0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(4k+1)^2-4\cdot 1\cdot 2(2k^2+k-3)$$

$$D=16k^2+8k+1-16k^2-8k+24=25$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{4k+1\pm 5}{2}$$

$$x_1=2k-2,\qquad x_2=2k+3$$

Ответ

$$\frac25; \quad x=2k-2,\; x=2k+3.$$