Упр.646 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

x2 — ах + а — 3 = 0 принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-ax+a-3=0$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=a, \qquad x_1x_2=a-3.$$

Найдём сумму квадратов корней:

$$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2. $$

Подставим значения:

$$ x_1^2+x_2^2=a^2-2(a-3)=a^2-2a+6. $$

Преобразуем выражение:

$$ a^2-2a+6=(a-1)^2+5. $$

Так как $$\,(a-1)^2 \ge 0\,$$, наименьшее значение суммы квадратов корней равно $$5$$ и достигается при $$a=1$$.

Ответ

При $$a=1$$ сумма квадратов корней наименьшая и равна $$5$$.