Упр.643 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение с параметром b:
2х2 — 4x + b = 0.

Рассмотрим уравнение $$\frac{1}{x}=ax+b.$$

График функции $$y=\frac{1}{x}$$ и график прямой $$y=ax+b$$ могут пересекаться по-разному.

1. Если $$a>0$$, то прямая возрастает. Тогда:

   • при $$b>0$$ — два корня;
   • при $$b<0$$ — два корня.

2. Если $$a<0$$, то прямая убывает. Тогда:

   • при $$-2<b<2$$ — корней нет;
   • при $$b=\pm 2$$ — один корень;
   • при $$b<-2$$ или $$b>2$$ — два корня.

3. Если $$a=0$$, то уравнение имеет вид $$\frac{1}{x}=b.$$

   • при $$b>0$$ — один корень;
   • при $$b<0$$ — один корень;
   • при $$b=0$$ — корней нет.

Теперь решим уравнение $$2x^2-4x+b=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot b=16-8b.$$

Тогда

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8b}}{4}.$$

Чтобы корни были действительными, нужно $$D\ge 0$$, то есть

$$16-8b\ge 0 \quad \Rightarrow \quad b\le 2.$$

При $$b=2$$ получаем

$$x=\frac{4\pm\sqrt{0}}{4}=\frac{4}{4}=1.$$

При $$b<2$$ уравнение имеет два корня:

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8b}}{4}.$$

При $$b>2$$ действительных корней нет.

Ответ

Для уравнения $$\frac{1}{x}=ax+b$$: при $$a>0$$ — два корня; при $$a<0$$ — при $$-2<b<2$$ корней нет, при $$b=\pm 2$$ один корень, при $$b<-2$$ или $$b>2$$ два корня; при $$a=0$$ — при $$b\ne 0$$ один корень, при $$b=0$$ корней нет.

Для уравнения $$2x^2-4x+b=0$$: при $$b<2$$ $$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8b}}{4}$$, при $$b=2$$ $$x=1$$, при $$b>2$$ корней нет.