Упр.642 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите графически уравнение:
   а) $$\frac{6}{x}=x$$;
   б) $$\frac{6}{x}=-x+6$$.
2. Решите уравнение с параметром $$a$$: $$ax-2x=a^3-2a^2-9a+18$$.

а) Рассмотрим графики функций $$y=\frac{6}{x}$$ и $$y=x.$$

Точки их пересечения удовлетворяют уравнению

$$\frac{6}{x}=x.$$

Умножим на $$x$$, учитывая, что $$x\neq 0$$:

$$6=x^2.$$

Тогда

$$x=\pm\sqrt{6}.$$

б) Рассмотрим графики функций $$y=\frac{6}{x}$$ и $$y=-x+6.$$

Точки пересечения удовлетворяют уравнению

$$\frac{6}{x}=-x+6.$$

Умножим на $$x$$, где $$x\neq 0$$:

$$6=-x^2+6x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-6x+6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=36-24=12,$$

$$x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}.$$

Уравнение с параметром

$$ax-2x=a^3-2a^2-9a+18.$$

Вынесем общий множитель:

$$x(a-2)=a^3-2a^2-9a+18.$$

Правая часть раскладывается на множители:

$$a^3-2a^2-9a+18=(a-2)(a^2-9)=(a-2)(a-3)(a+3).$$

Получаем:

$$x(a-2)=(a-2)(a^2-9).$$

Если $$a\neq 2$$, то можно разделить на $$a-2$$:

$$x=a^2-9.$$

Если $$a=2$$, то исходное уравнение принимает вид

$$0=0,$$

значит, $$x$$ — любое число.

Ответ

а) $$x=\pm\sqrt{6}$$; б) $$x=3-\sqrt{3},\; x=3+\sqrt{3}$$; при $$a=2$$ — любое $$x$$, при $$a\neq 2$$ $$x=a^2-9$$.