Упр.639 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Решите уравнение: Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
а)
$$\frac{10}{(x-5)(x+1)}+\frac{x}{x+1}=\frac{3}{x-5}, \qquad x\ne 5,\; x\ne -1$$
Умножим обе части на $$(x-5)(x+1)$$:
$$10+x(x-5)=3(x+1)$$
$$10+x^2-5x=3x+3$$
$$x^2-8x+7=0$$
$$D=64-28=36$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=7$$
б)
$$\frac{17}{(x-3)(x+4)}-\frac{1}{x-3}=\frac{x}{x+4}, \qquad x\ne 3,\; x\ne -4$$
Умножим обе части на $$(x-3)(x+4)$$:
$$17-(x+4)=x(x-3)$$
$$17-x-4=x^2-3x$$
$$x^2-2x-13=0$$
$$D=4+52=56=4\cdot 14$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 2\sqrt{14}}{2}$$
$$x_1=1-\sqrt{14},\quad x_2=1+\sqrt{14}$$
в)
$$\frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{x^2-1}=0, \qquad x\ne \pm 1$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)(x+1)}=0$$
Умножим на $$(x-1)^2(x+1)^2$$:
$$4(x-1)^2-(x+1)^2+(x-1)(x+1)=0$$
$$4(x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)+x^2-1=0$$
$$4x^2-8x+4-x^2-2x-1+x^2-1=0$$
$$4x^2-10x+2=0$$
$$2x^2-5x+1=0$$
$$D=25-8=17$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{4}$$
г)
$$\frac{4}{9x^2-1}+\frac{1}{3x^2-x}=\frac{4}{9x^2-6x+1}, \qquad x\ne 0,\; x\ne \pm \frac13$$
Разложим знаменатели на множители:
$$\frac{4}{(3x-1)(3x+1)}+\frac{1}{x(3x-1)}=\frac{4}{(3x-1)^2}$$
Умножим на $$x(3x-1)^2(3x+1)$$:
$$4x(3x-1)+(3x-1)(3x+1)=4x(3x+1)$$
$$12x^2-4x+9x^2-1=12x^2+4x$$
$$9x^2-8x-1=0$$
$$D=64+36=100$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{18}$$
$$x_1=-\frac19,\quad x_2=1$$
Ответ
а) $$x=1,\; 7$$; б) $$x=1\pm \sqrt{14}$$; в) $$x=\frac{5\pm \sqrt{17}}{4}$$; г) $$x=-\frac19,\; 1$$.
