Упр.628 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
а) $$\frac{x^2-1}{2}-11x=11$$;
б) $$\frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3}$$;
в) $$x-3=\frac{1-x^2}{3}$$;
г) $$\frac{2-x^2}{7}=\frac{x}{2}$$.
Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде $$15\ \text{км/ч}$$, прошла по течению реки $$35\ \text{км}$$, а против течения $$25\ \text{км}$$. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?

Подробный ответ

а) Умножим обе части уравнения на $$2$$:
$$\frac{x^2-1}{2}-11x=11 \\ x^2-1-22x=22 \\ x^2-22x-23=0$$
Найдём корни:
$$D=(-22)^2-4\cdot 1\cdot(-23)=484+92=576$$
$$x=\frac{22\pm 24}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=23$$
б) Умножим обе части уравнения на $$6$$:
$$\frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3} \\ 3(x^2+x)=2(8x-7) \\ 3x^2+3x=16x-14 \\ 3x^2-13x+14=0$$
$$D=(-13)^2-4\cdot 3\cdot 14=169-168=1$$
$$x=\frac{13\pm 1}{6}$$
$$x_1=2,\quad x_2=\frac{7}{3}$$
в) Умножим обе части уравнения на $$3$$:
$$x-3=\frac{1-x^2}{3} \\ 3x-9=1-x^2 \\ x^2+3x-10=0$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49$$
$$x=\frac{-3\pm 7}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=2$$
г) Умножим обе части уравнения на $$14$$:
$$\frac{2-x^2}{7}=\frac{x}{2} \\ 2(2-x^2)=7x \\ 4-2x^2-7x=0 \\ 2x^2+7x-4=0$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81$$
$$x=\frac{-7\pm 9}{4}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac{1}{2}$$
Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению равна $$15+x$$ км/ч, а против течения — $$15-x$$ км/ч.
По условию времена равны, значит:
$$\frac{35}{15+x}=\frac{25}{15-x}$$
Решим уравнение:
$$35(15-x)=25(15+x) \\ 525-35x=375+25x \\ 150=60x \\ x=\frac{150}{60}=2.5$$
Скорость течения реки равна $$2.5$$ км/ч.