Упр.625 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) (x^2 — 11x + 24)/(x^2 — 64);
б) (2y^2 + 9y — 5)/(4y^2 — 1).
Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось на его долю. Сколько человек обедало?

Подробный ответ

а) Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^2-11x+24=(x-3)(x-8),$$

$$x^2-64=(x-8)(x+8).$$

Тогда

$$\frac{x^2-11x+24}{x^2-64}=\frac{(x-3)(x-8)}{(x-8)(x+8)}=\frac{x-3}{x+8}.$$

При этом $$x\ne 8$$ и $$x\ne -8$$.

б) Разложим на множители:

$$2y^2+9y-5=(2y-1)(y+5),$$

$$4y^2-1=(2y-1)(2y+1).$$

Тогда

$$\frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1}=\frac{(2y-1)(y+5)}{(2y-1)(2y+1)}=\frac{y+5}{2y+1}.$$

При этом $$y\ne \frac12$$ и $$y\ne -\frac12$$.

Старинная задача. Пусть обедало $$x$$ человек, тогда оплатить смогли $$x-2$$ человека. По условию каждый из них заплатил на 10 шиллингов больше, чем приходилось бы на одного человека:

$$\frac{175}{x-2}-\frac{175}{x}=10.$$

Умножим на $$x(x-2)$$:

$$175x-175(x-2)=10x(x-2).$$

$$175x-175x+350=10x^2-20x.$$

$$10x^2-20x-350=0.$$

Разделим на 10:

$$x^2-2x-35=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-35)=4+140=144.$$

$$x=\frac{2\pm 12}{2}.$$

$$x_1=7,\quad x_2=-5.$$

По смыслу задачи подходит только $$x=7$$.