Упр.623 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида $$n$$, $$2n$$, $$3n$$ (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.
2. На молодёжном карнавале Андрей купил билеты лотереи «Надежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи «Надежда»?

1) Рассмотрим все возможные перестановки коэффициентов $$n, 2n, 3n$$.

Если коэффициенты равны $$n, 2n, 3n$$, то получаем:

$$nx^2+2nx+3n=0$$

$$x^2+2x+3=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$$

Корней нет, значит, на множители не разлагается.

Если коэффициенты равны $$n, 3n, 2n$$, то:

$$nx^2+3nx+2n=0$$

$$x^2+3x+2=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1>0$$

$$x_1=\frac{-3-1}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$

Следовательно,

$$nx^2+3nx+2n=n(x+2)(x+1)$$

Значит, такой квадратный трёхчлен существует.

Аналогично проверяются остальные перестановки: только для коэффициентов $$n, 3n, 2n$$ и $$2n, 3n, n$$ получаются корни.

2) Пусть $$x$$ — число билетов лотереи «Надежда». Тогда билетов лотереи «Удача» можно было бы купить $$x+4$$.

Составим уравнение по условию:

$$\frac{240}{x}-\frac{240}{x+4}=5$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne -4$$.

Умножим на $$x(x+4)$$:

$$240(x+4)-240x=5x(x+4)$$

$$960=5x^2+20x$$

$$5x^2+20x-960=0$$

$$x^2+4x-192=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-192)=16+768=784$$

$$x_1=\frac{-4-28}{2}=-16,\qquad x_2=\frac{-4+28}{2}=12$$

Подходит только $$x=12$$, так как число билетов должно быть положительным.

Тогда цена одного билета:

$$240:12=20$$

Ответ

$$nx^2+3nx+2n=n(x+1)(x+2)$$; $$20$$ руб.