Упр.619 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) $$2x^2+12x-14$$; в) $$3x^2+5x-2$$; б) $$-m^2+5m-6$$; г) $$6x^2-13x+6$$.
Один из лыжников прошёл расстояние в $$20\ \text{км}$$ на $$20\ \text{мин}$$ быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на $$2\ \text{км/ч}$$ большей, чем другой.

Подробный ответ

а) $$2x^2+12x-14=2(x^2+6x-7)=2(x^2+7x-x-7)=2(x+7)(x-1);$$

б) $$-m^2+5m-6=-(m^2-5m+6)=-(m^2-3m-2m+6)=-(m-3)(m-2)=(3-m)(m-2);$$

в) $$3x^2+5x-2=3\left(x^2+\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}\right)=3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x+2)=(3x-1)(x+2);$$

г) $$6x^2-13x+6=6\left(x^2-\frac{13}{6}x+1\right)=6\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)=(3x-2)(2x-3).$$

Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого лыжника, тогда скорость второго лыжника $$x+2$$ км/ч. Время, за которое первый лыжник прошёл 20 км, равно $$\frac{20}{x}$$ ч, а второй — $$\frac{20}{x+2}$$ ч. По условию второй лыжник затратил на 20 мин меньше, то есть на $$\frac{1}{3}$$ ч меньше:

$$\frac{20}{x}-\frac{20}{x+2}=\frac{1}{3}.$$

ОДЗ: $$x\neq 0,$$ $$x\neq -2.$$

Решим уравнение:

$$\frac{20(x+2)-20x}{x(x+2)}=\frac{1}{3}$$

$$60(x+2)-60x=x(x+2)$$

$$120=x^2+2x$$

$$x^2+2x-120=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-120)=484=22^2$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 22}{2}$$

$$x_1=-12,\quad x_2=10$$

Значение $$x=-12$$ не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. Тогда

$$x=10,$$