Упр.617 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) $$3x^2-24x+21$$; г) $$x^2-12x+20$$; ж) $$2x^2-5x+3$$; б) $$5z^2+10z-15$$; д) $$-y^2+16y-15$$; з) $$5y^2+2y-3$$; в) $$6x^2+2x+3$$; е) $$-t^2-8t+9$$; и) $$-2n^2+5n+7$$.
2. Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю — 5, то она увеличится на $$\frac{1}{2}$$. Найдите эту дробь.

1. Разложим на множители:

   $$3x^2-24x+21=3(x^2-8x+7)=3(x-1)(x-7);$$
   $$5z^2+10z-15=5(z^2+2z-3)=5(z+3)(z-1);$$
   $$6x^2+2x+3=\frac16(36x^2+12x+18),$$
   $$\text{но удобнее сразу заметить, что в исходном решении здесь опечатка: }$$
   $$\frac16x^2+\frac12x+\frac13=\frac16(x^2+3x+2)=\frac16(x+1)(x+2);$$
   $$x^2-12x+20=(x-2)(x-10);$$
   $$-y^2+16y-15=-(y^2-16y+15)=-(y-1)(y-15)=(15-y)(y-1);$$
   $$-t^2-8t+9=-(t^2+8t-9)=-(t+9)(t-1)=(t+9)(1-t);$$
   $$2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1);$$
   $$5y^2+2y-3=(5y-3)(y+1);$$
   $$-2n^2+5n+7=(7-2n)(n+1).$$

2. Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+3$$. По условию:

   $$\frac{x+7}{x+8}=\frac{x}{x+3}+\frac12.$$

   Умножим на $$2(x+8)(x+3)$$:

   $$2(x+7)(x+3)=2x(x+8)+(x+8)(x+3)$$
   $$2x^2+20x+42=3x^2+27x+24$$
   $$x^2+7x-18=0.$$

   $$D=7^2-4\cdot1\cdot(-18)=49+72=121,$$
   $$x_1=\frac{-7-11}{2}=-9,\qquad x_2=\frac{-7+11}{2}=2.$$

   Проверим:

   при $$x=-9$$ получаем $$\frac{-9}{-6}=\frac32$$ — не подходит;
   
   при $$x=2$$ получаем $$\frac{2}{5}$$ — подходит.

Ответ

а) $$3(x-1)(x-7)$$; б) $$5(z+3)(z-1)$$; в) $$\frac16(x+1)(x+2)$$; г) $$(x-2)(x-10)$$; д) $$(15-y)(y-1)$$; е) $$(t+9)(1-t)$$; ж) $$(2x-3)(x-1)$$; з) $$(5y-3)(y+1)$$; и) $$(7-2n)(n+1)$$; искомая дробь $$\frac25$$.