Упр.613 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.
2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.
3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.
Найдите значение выражения х2 — 2ху + у2 при х=3 + корень 5, у = 3- корень 5.

Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда второй катет равен $$6-x$$ см.

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S=\frac12 x(6-x).$$

Преобразуем выражение:

$$ S=\frac12(6x-x^2)=-\frac12(x^2-6x) =-\frac12(x^2-6x+9-9) =-\frac12(x-3)^2+4{,}5. $$

Так как $$\left(x-3\right)^2 \ge 0$$, то наибольшее значение площади достигается при $$x=3$$.

Тогда второй катет тоже равен $$6-3=3$$ см, то есть треугольник равнобедренный.

Наибольшая площадь:

$$S_{\max}=\frac12 \cdot 3 \cdot 3=4{,}5\ \text{см}^2.$$

Теперь найдём значение выражения:

$$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2.$$

При $$x=3+\sqrt5$$ и $$y=3-\sqrt5$$ имеем:

$$ (x-y)^2=\left((3+\sqrt5)-(3-\sqrt5)\right)^2=(2\sqrt5)^2=20. $$

Ответ

Наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $$3$$ см и $$3$$ см; его площадь равна $$4{,}5\ \text{см}^2$$. Значение выражения равно $$20$$.